Question

证明方程x的三次方+px+q=0有且仅有一个实根

Answer 1

这个命题是错误的。
f(x)=x^3+px+q=0
f'(x)=3x^2+p=0
如果p>=0,
则f'(x)>=0,
函数单调递增，这时只有一个实根
如果p=0,
x^3=-q,
有三个相等实根
如果p<0,
则f(x)有极大值点t1=-√(-p/3),
极小值点t2=√(-p/3)
如果f(t1)>0,
f(t2)<0,
则方程有3个不等实根。例如：
取p=-3,
q=0,
f(x)=x^3-3x,
有3个根
x=0,
√3,
-√3

Answer 2

这个命题是错误的。
f(x)=x^3+px+q=0
f'(x)=3x^2+p=0
如果p>=0,
则f'(x)>=0,
函数单调递增，这时只有一个实根
如果p=0,
x^3=-q,
有三个相等实根
如果p<0,
则f(x)有极大值点t1=-√(-p/3),
极小值点t2=√(-p/3)
如果f(t1)>0,
f(t2)<0,
则方程有3个不等实根。例如：
取p=-3,
q=0,
f(x)=x^3-3x,
有3个根
x=0,
√3,
-√3

Answer 3

这个命题是错误的.
f(x)=x^3+px+q=0
f'(x)=3x^2+p=0
如果p>=0,则f'(x)>=0,函数单调递增,这时只有一个实根
如果p=0,x^3=-q,有三个相等实根
如果p0,f(t2)