Question

证明：如果p＞0，那么关于x的一元三次方程x3+px+q=0有且仅有一个实根．

Answer 1

【答案】：记f(x)=x³+px+q，则f(x)在(-∞，+∞)内连续．因为所以分别存在绝对值充分大的a＜0与b＞0，使得f(a)＜0与f(b))＞0．于是，由于f(x)在[a，b]上连续，且f(a)·f(b)＜0，故由闭区间上连续函数的零点定理，存在ξ∈(a，b)，使f(ξ)=0，即方程x³+px+q=0有实根．
对于任何-∞＜x₁<x₂＜+∞，有
f(x₂)-f(x₁)=(x₂³+px₂+q)-(x₁³+px₁+q)
=(x₂-x₁)(x₂²+x₁x₂+x₁²+P)
≥(x₂-x₁)(2|x₁x₁|+x₁x₂+p)
≥(x₂-x₁)(|x₁x₂|+p)＞0，
故f(x)在(-∞，+∞)内单调增加，从而方程x³+px+q=0仅有一个实根．