Question

大学数学解题 求大神解答……

已知f(x)在[a,b]上连续，在[a，b]上可微，试证明存在
怎么处理这两个存在量 和解题思路

Answer 1

证明：

本题考的是微分中值定理，关键在于构造函数

构造函数g(x)=x²
易知：
函数f(x)，g(x)：（你题设条件应该是没有写：f(x)在[a，b]连续，在（a,b）内可导，且a≠b）
（1）在[a,b]连续；
（2）在（a,b）上可导，
于是：
根据柯西中值定理，存在η∈(a,b)，使得：
[f(b)-f(a)]/(b^2-a^2)=f'(η)/2η.........................(1)
又根据拉格朗日中值定理知，存在ξ∈(a,b)，使得：
f(b)-f(a)=(b-a)f'(ξ).......................................(2)
将(1)带入(2)，得：
(b-a)f'(ξ)/(b²-a²)=f'(η)/2η
因此：
f'(ξ)=(a+b)f'(η) / 2η

Answer 2

做辅助函数f(x)/x^2，对其使用柯西中值定理，得f'(η)/2η=[f(b)-f(a)]/(b^2-a^2)，又根据拉格朗日中值定理，f(b)-f(a)=f'(ζ)(b-a)，代入上式得f'(η)/2η=f'(ζ)(b-a)/(b^2-a^2)，即f'(ζ)=(a+b)f'(η)/2η。