Question

设直线l过点P(1,2)且与抛物线y^2=2(x-1)只有一个公共点，求直线l的方程

Answer 1

说明首先你要在图上画出抛物线的大致图像，数形结合思想在方程中也很管用的
解答：1.当斜率不存在时设为x=c，因为过p（1,2）即x=1，带入抛物线方程得y=0
即只有一个交点。满足条件
2. 当斜率存在时,因为过p（1,2)设方程为y=k(x-1)+2
(1) 当k=0时直线为y=2，带入抛物线方程得x=2只有一个交点，满足条件
（2）当k不等于0时设抛物线与直线的交点为(（y²+2）/2,y)
由两点斜率式得（y-2）=k[(y²+2）/2-1]
化简得：ky²-2y+4=0
只有一个交点，即△=2²-16k=0求出k=¼
直线方程为：x=1、y=2或者y=¼（x-1）+2

Answer 2

设直线l的斜率为k
① 若k不存在，则设直线l：x=b
直线l过点P(1,2)，所以x=2
且与抛物线y^2=2(x-1)只有一个公共点，则
x=2 与y^2=2(x-1) 联立方程，解得y=√2
② 若k存在，则设直线l：y=kx+b
1）；若直线l垂直于x轴，则k=1，所以y=x+b
直线l过点P(1,2)，所以b=1，所以y=x+1
且与抛物线y^2=2(x-1)只有一个公共点，则
y=x+1与y^2=2(x-1) 联立方程，无解
所以k不等于1
2）；y=kx+b与y^2=2(x-1) 联立方程，则
（ kx+b）^2=2(x-1)
k^2*x^2+（2kb-2）x+（b^2+2）=0
因为 △=（2kb-2）^2-4*k^2*（b^2+2）=0
且2=k+b
联立方程，解得 k=√2/2 或 k=-√2/2
所以b=2-√2/2 或 b=2+√2/2
所以y=√2/2*x+2-√2/2 或 y=-√2/2*x+2+√2/2