Question

设a、b为非零向量，且|b|=2，（a，b）夹角=60°，求lim(|a+xb|-|a|)/x （x趋向于0）

Answer 1

【解】应该说明x是个实数，
而xb是将向量b扩大或缩小x倍
如此用向量的平行四边形法则和余弦定理
|a+xb|²=|a|²+|xb|²-2|a||xb|cos120°
所以：|a+xb|=根号（|a|²+4x²+2|a|x)
另一方面：lim[x-0](|a+xb|-|a|)/x，显然在x趋于0时，分子和分母都是0，为0/0型不定式极限，由罗必塔法则，将分子与分母分别求导
既：lim[x-0](|a+xb|-|a|)/x=lim[x-0](|a+xb|-|a|)'/x'=lim[x-0](4x+|a|）/根号（|a|²+4x²+2|a|x)=1
【OK】

Answer 2

∵<a,b)=60°
∴<a,bx>=120°
la+xb| = √(|a|² + x²|b|² - 2x|a||b|cos120°) = √(|a|² + x²|b|² + x|a||b|)

∴(|a+xb| - |a|)/x = (√(|a|² + x²|b|² + x|a||b|) - |a|)/x，
= (x|b|² + |a||b|)/(√{[|a|² + x²|b|² + x|a||b|] + |a|}

∴当x→0时，lim(|a+xb|-|a|)/x =lim|(x|b|² + |a||b|)/{[√(|a|² + x²|b|² + x|a||b|] + |a|}=|a||b|/2lal
=lbl/2
=1