Question

如图，正方形ABCD的对角线相交于点O。

如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O是正方形ABCD的一个顶点，如果两个正方形的边长相等，那么正方形A'B'C'D'绕点O无论怎样转动，两个正方形重合的面积。总等于一个正方形一个面积的四分之一，你能说明理由么？
（要详细过程）

Answer 1

直接连结OB，设OC与BC交于F点，OA＇交AB于M点
证明：因为DB跟AC都是正方形的角平分线，
　　　　所以，角OBC＝角OAB，　　（1）
　　　　　　BO＝AO　　　　　　　（2）
　又，角FOB＝角FOA＇－角BOA＇
　　　角MOA＝角MOA－角BOA＇
　　　角FOA＇＝角MOA＝90°
　所以，角FOB＝角MOA　　　　　　（3）
由（1）（2）（3）得：
　　三角形FOB　全等于　三角形MOA
所以，重合部分面积＝三角形FOB面积＋三角形BOM面积
　　　　　　　　　＝三角形MOA面积＋三角形BOM面积
　　　　　　　　　＝三角形BOA面积
　　　　　　　　　＝1／4正方形ABCD的面积
　　　若，两正方形边长相等，则重合部分面积也会等于另一个正方形的面积的1／4。其实，如果，两正方形边长不相等，重合部分的面积会等于小正方形面积的1／4

Answer 2

设A'O交AB于点E,
设C'O交AB于点F, 因为∠EOA=∠FOB, ∠OAE=∠OBF，又因为AO=BO,所以三角形AOE全等于三角形BOF,所以正方形A'B'C'D'绕点O无论怎样转动,三角形AOE都全等于三角形BOF,即面积相等，当正方形A'B'C'D'绕点O转动到F点和B点重合,E点和A点重合时两个正方形重合的面积，刚好等于一个正方形一个面积的四分之一。所以当正方形A'B'C'D'绕点O无论怎样转动，两个正方形重合的面积,总等于一个正方形一个面积的四分之一。

Answer 3

证明：(1)若AB与A’O相交与E点，BC与C‘O相交与F点
∠EAO=∠FBO,AO=BO,∠AOE=∠BOF
∴△AOE≌△BOF∴AE=BF
设AE=BF=a，AB=b，则BE=b-a，
重合面积=S△BOF+S△BOE
=1/2a×1/2b+1/2(b-a)×1/2b
=1/4b^2
(2)若E和A重合，F和B重合，则重合面积为1/2b×1/2b=1/4b^2

而ABCD面积为b^2
∴重合面积总等于一个正方形一个面积的四分之一。

Answer 4

已知：正方形的对角线互相垂直并平分，∴∠cog=90°。
在△cef和△cog中，∠cog=∠cfe=90°，∠ocg=∠ecf(同角)，
∴△cef∽△cog，∠cgo=∠cef。
在△cef和△oeb中，∠eob=∠cfe=90°，∠oef=∠cef(同角)，
∴△cef∽△oeb，∠obe=∠ecf。
∵∠ocg=∠ecf，∠obe=∠ecf，∴∠obe=∠ocg。
在△cog和△oeb中，∠cog=∠eob=90°，∠obe=∠ocg，oc=ob，
∴△cog≌△oeb（角、边、角），∴oe=og。