Question

1的代换公式基本不等式

Answer 1

1的代换公式基本不等式如下：

例：已知a>0，b>0，2a＋b=1，求2/a＋1/b的最小值。

【解法一】：

因为a、b都是正数，则2a＋b≥2√(2ab)，因2a＋b=1，则2√(2ab)≤1，得：2ab≤1/4，1/(ab)≥8。

又：(2/a)＋(1/b)≥2√[2/(ab)]，而1/(ab)≥8，则：(2/a)＋(1/b)≥2√[2×8]=8，即：(2/a)＋(1/b)的最小值是8。

【分析】：

此解法的错误在于连续使用基本不等式：①2a＋b≥2√(2ab)【此时等号成立的条件是：2a=b】②(2/a)＋(1/b)≥2√[2/(ab)]【此时等号成立的条件是：2/a=1/b即：a=2b】最终要取得最小值√2，则必须2a=b且a=2b同时成立，事实上这个不可能取到的。从而此解法错误。

【正解】：

M=(2/a)＋(1/b)=(2a＋b)[(2/a)＋(1/b)]==【因为2a＋b=1】====5＋[(2a/b)＋(2b/a)]≥5＋2√[(2a/b)×(2b/a)]=5＋4=9，则M的最小值是9，当且仅当2a/b=2b/a时即a=b时取等号。

【分析】：

利用基本不等式求最值，注意三点：①利用时的条件：必须是正；②注意等号取得的条件；③一般情况下，连续使用基本不等式，需要慎重。【主要是等号成立的条件可能会不一致】