Question

已知直线y=2x+4与x轴、y轴分别交于A、D两点，抛物线y=-1/2x2+bx+c经过点A、D，点B是抛物线与x轴的另一个

(1)求这条抛物线的解析式及点B的坐标。(2)设点M是直线AD上一点，且S△AOM：S△OMD=1:3，求点M的坐标；（3）如果点C（2，y）在这条抛物线上，在y轴的正半轴上是否存在点P，使△BCP为等腰三角形，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。 急需，快快快快快快快快快快！！！！！！！！！！！！！！！！

Answer 1

解：（1）令y=0，则2x+4=0，
解得x=-2，
令x=0，则y=4，
所以，点A（-2，0）、D（0，4）；
代入抛物线y=-
1
2
x2+bx+c中，得：
-12×4-2b+c=0c=4
，解得
b=1c=4
∴抛物线的解析式：y=-
1
2
x2+x+4；
令y=0，得：0=-
1
2
x2+x+4，解得 x1=-2、x2=4
∴点B（4，0）．
（2）∵S△AOM：S△OMD=1：3，∴AM：MD=1：3；
过点M作MN⊥x轴于N，如右图；
①当点M在线段AD上时，AM：AD=1：4；
∵MN∥OD，∴△AMN∽△ADO
∴MN=
1
4
OD=1、AN=
1
4
OA=
1
2
、ON=OA-AN=2-
1
2
=
3
2
；
∴M（-
3
2
，1）；
②当点M在线段DA的延长线上时，AM：AD=1：2；
∵MN∥OD，∴△AMN∽△ADO
∴MN=
1
2
OD=2、AN=
1
2
OA=1、ON=OA+AN=3；
∴M（-3，-2）；
综上，符合条件的点M有两个，坐标为：（-
3
2
，1）、（-3，-2）．
（3）当x=2时，y=-
1
2
x2+x+4=4，∴点C（2，4）；
设点P的坐标为（0，m）（m＞0），则有：
CP2=m2-8m+20、BP2=m2+16、BC2=20；
①当CP=BP时，m2-8m+20=m2+16，解得 m=
1
2
；
②当CP=BC时，m2-8m+20=20，解得 m1=0（舍）、m2=8（舍去）；
③当BP=BC时，m2+16=20，解得 m1=-2（舍）、m2=2；
综上，存在符合条件的点P，坐标为（0，
1
2 ）或（0，2）．

Answer 2

　　A(-2,0) D(0,4)
　　-2-2b+c=0
　　c=4 b=1
(1)这条抛物线的解析式: y=-1/2 x^2+x+4 B(4,0)
(2)∵S△AOM：S△OMD=1:3∴点M的坐标(-2+2/4,4/4),即(-1.5,1).
(3) x=2 y=4 C(2,4) 设p(0,y)
　　BC^2=4+16=20 4+(y-4)^2=20 y-4=±4 y=8 y=0(舍去) ∴P(0,8)
　　或 4^2+y^2=2^2+(y-4)^2=4+y^2-8y+16 8y=4 y=1/2
　　∴ 点P的坐标为：(0,8) 或 (0，1/2)