Question

高中函数题目

已知函数f(x)是偶函数，其定义域为(-1,1),且在‖0,1)上为增函数，若f(a-2)-f(4-a²)＜0,试求a的取值范围. ("‖"表示闭区间)

Answer 1

在[0,1)上是增函数
则0<=a<b<1时，f(a)-f(b)<0
f(x)是偶函数
所以f(-a)=f(a),f(-b)=f(b)
所以-1<-b<-a<=0
则f(-b)-f(-a)=f(b)-f(a)>0
所以f(x)在(-1,0]是减函数

定义域
-1<a-2<1,1<a<3
-1<a^2-4<1,3<a^2<5
要符合1<a<3
所以√3<a<√5

f(a-2)-f(4-a^2)<0
所以f(a-2)-f(a^2-4)<0
f(a-2)<f(a^2-4)

若a-2<0,a^2-4<0
减函数，a-2>a^2-4
a^2-a-2<0,-1<a<2
所以√3<a<2

若a-2>0,a^2-4>0
增函数
a-2<a^2-4
a^2-a-2>0
a>2,a<-1
所以2<a<√5

若0<a-2<1,-1<a^2-4<0
则-1<2-a<0
f(x)在(-1,0]是减函数
所以2-a>a^2-4
a^2+a-6<0
-3<a<2
所以√3<a<2

若-1<a-2<0,0<a^2-4<1
则-1<4-a^2<0
f(x)在(-1,0]是减函数
所以a-2>4-a^2
a^2+a-6>0
a<-3,a>2
所以2<a<√5

所以
√3<a<2和2<a<√5

Answer 2

这很简单啊！

f(a-2)<f(4-a²)
因为f(x)是偶函数
所以f(x)=f(-x)=f(|x|）
所以f(|a-2|)<f(|4-a²|)
因为f(x)在[0,1)上是增函数，|a-2|，|4-a²|∈[0,1)
所以|a-2|<|4-a²|
又因为-1<a-2<1,-1<4-a²<1
所以√3<a<3

所以（a-2)^2<(4-a²)^2

所以(4-a²)^2-(a-2)^2>0

[(4-a²)-(a-2)][(4-a²)+(a-2)]>0
所以(a-2)²(a+3)(a+1)>0

所以√3<a<3且a≠2

Answer 3

这样做先说明函数在在（-1，0）为减函数。在（0，10为增函数。再证明在（-1，1）内A-2小于4-A方，从而在（0，1）内F（A-2）一定小于F（4-A方，这是其一，值得注意，其定义域，其二因为是偶函数，F（A-2）=F（2-A）所以，在-1小于A-2小于0小于4-A方小于1时上式也成立，这样A的取值范围由上述两点而定，具体自己算

Answer 4

根据偶函数性质，和函数增减性得，la-2l<l4-a^2l分类讨论出不等式在定义区间内的解即可

Answer 5

需要满足条件
-1<a-2<1
-1<4-a^2<1
又因为是偶函数
所以 la-2l<l4-a^2l
综合求解即可得

Answer 6

偶函数在其对称定义域区间内单调性相反