Question

直线y=-x+2与x轴交于点A,与y轴交于点B，P是直线AB上的一个动点，如果△POA是等腰三角形，求点P的坐标。

Answer 1

解：
总计有三个坐标符合要求。
y=0代入直线方程，求出x=2，A点坐标为（2,0）
x=0代入直线方程，求出y=2，B点坐标为（0,2）
① △OAB是等腰直角三角形，AB的中点坐标为（1,1），O点和该点连线是等腰△OAB底边的高，可知，该点符合题目要求，可以当做P点的一个坐标，为（1,1)；
② 另外，P点与B点重合，则△POA也是等腰三角形，则P的第二个坐标为（0,2）；
③ 在BA线段的延长线上，AP=OA=2的点，也符合题目要求。
该点坐标为x=2+2cos45°=2+√2，y=-2sin45°=-√2，则P点的第三个坐标为（2+√2，-√2）。

Answer 2

由y=-x+2，x=0, y=2; x=2, y=0

所以
A(2,0), B(0,2)

有3种情况,
1, PA= PO
P同时在直线y=-x+2及OA的中垂线x=1上
y=-x+2

x=1
解得
x=1,y = 1　
得P(1,1)

2, OA = OP
P在直线y=-x+2上,及　OP = OA = 2-0 =2

y=-x+2

√(x^2 +y^2) = 2

解得x=0, y=2; x=2,y=0

为A, B两点，要构成三角形，P点在B上
P(0,2)

3, OA = AP
因OA =2得方程组：
y=-x+2
√((x-2)^2 +y^2) = 2

解得

x= 2+/-√2,
得 x=2-√2, y = √2
或 x=2+√2, y = -√2
所以
P(2-√2,√2)或P(2+√2,-√2)