Question

已知如图，圆o1与圆o2相交于点A,B两点，过点B作CD垂直于AB，分别交圆O1和圆O2于C,D,过点B任作一直线分别

已知如图，圆o1与圆o2相交于点A,B两点，过点B作CD垂直于AB，分别交圆O1和圆O2于C,D,过点B任作一直线分别交O1和O2于E,F，试证明：（1）AC,AD分别是圆O1和圆O2的直径；（2）AE与AF的比值是常数。

Answer 1

证明:

(1)

连接AC,AD

∵B在⊙O1上且AB⊥BC

∴∠ABC=90°

∴AC是⊙O1的直径

同理可得AD是⊙O2的直径

(2)

∠1=∠2

∠1=∠3

∠2=∠4

∴∠3=∠4

∴∠3+∠5=∠4+∠5

∴∠CAD=∠FAE...①

同时∠C=∠E..②

由①②得△ACD∽△AEF

∴AE:AF=AC:AD

而AC,AD分别为⊙O1,⊙O2的直径

∴AE:AF为⊙O1,⊙O2的直径之比,是常数

得证