Question

设角A,B,C为三角形ABC的三个内角，已知cos(B+C)+sin^2(A/2)=5/4.

(1)求角A的大小;(2)若AB×AC=-1，求BC边上的高AD长的最大值

Answer 1

第一个问题：
∵cos（B＋C）＋［sin（A/2）］^2＝5/4，∴2cos（B＋C）＋2［sin（A/2）］^2＝5/2，
∴2cos（180°－A）＋1－cosA＝5/2，∴－2cosA＋1－cosA＝5/2，∴3cosA＝1－5/2＝－3/2，
∴cosA＝－1/2，∴A＝120°。

第二个问题：
∵cosA＝向量AB·向量AC/（AB×AC）＝－1/2，∴－1/（AB×AC）＝－1/2，∴AB×AC＝2，
∴S(△ABC)＝（1/2）AB×ACsinA＝（1/2）BC×AD，∴BC×AD＝2sin120°＝√3。
显然，当BC取最小值时，AD有最大值。
由余弦定理，有：
BC^2
＝AB^2＋AC^2－2AB×ACcosA＝（AB＋AC）^2－2AB×AC－2AB×ACcosA
≧［2√（AB×AC）］^2－2AB×AC－2AB×ACcosA＝4AB×AC－2AB×AC－2AB×ACcosA
＝2AB×AC－2AB×ACcosA＝2√3－2√3×（－1/2）＝2√3＋√3＝3√3＝3^（3/2），
∴BC的最小值＝3^（3/4），∴AD的最大值＝√3/［3^（3/4）］＝3^（1/2－3/4）＝1/3^（1/4）。

Answer 2

cos(B+C)+sin²(A/2)=5/4
-cosA+(1-cosA)/2=5/4
cosA=-1/2
A=2π/3

AB×AC=-1，则AB×AC的模长为1
S△=sinA*AB*AC/2
= √3/4
BC²= AB²+AC²- 2*AB*AC*cosA
= AB²+AC² + 1
= AB² + 1/AB² +1
≥3
AD=S△/BC
≤√3/4 /√3=1/4

Answer 3

(1)B+C=180-A,并用倍角公式变换，则-CosA+（1-cosA）/2=5/4
易得cosA=-1/2,因此A=120°；
设AD=y，角BAD=x，则AB=y/cosx,AC=y/cos（2∏/3-x）,根据题意
y2/cosxcos（2∏/3-x）=1，则y2=cosxcos（2∏/3-x），其中0<x<2∏/3
由三角函数积化和差公式化简：y2=1/2（cos2∏/3+cos(2∏/3-2x)）
当2∏/3-2x=0时，即x=∏/3，y取得最大值，y=1/2，三角型为等腰三角形，AB=AC=1；
希望可以帮助到你，请采纳！