Question

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已知方程2x²-5ax+3b=0的两根之比为2：3，方程x²-2bx+8a=0的两根相等（ab不等于0），求证：k为任何实数时，方程ax²+(b+k-1)x+(k+1)=0必有实数根

Answer 1

依题意得
令方程2x²-5ax+3b=0的两根为x1x2
则x1:x2=2:3，即x2=1.5x1
x1+1.5x1=5a/2，即x1=a
1.5x1²=3b/2，
所以a²=b
由方程x²-2bx+8a=0的两根相等
得4b²-32a=0，即b²=8a
联立a²=b
b²=8a
解得a=2，b=4
所以方程ax²+(b+k-1)x+(k+1)=0为
2x²+(k+3)x+(k+1)=0
(k+3)²-4*2*(k+1)
=(k-1)²≥0
所以k为任何实数时，方程ax²+(b+k-1)x+(k+1)=0必有实数根

Answer 2

由2x^2-5ax+3b=0设其解为x1,x2;则x1+x2=5a/2(设为1式),x1*x2=3b/2(设为2式)
则1式的平方除以2式的为[(5a/2)^2]/(3b/2)=(x1+x2)^2/(x1x2)=(x1^2+2x1x2+x2^2)/(x1x2)=
x1/x2+2+x2/x1=2/3+2+3/2=25/6化简后的25a^2/6b=25/6即a^2=b
由方程x^2-2bx+8a=0两根相同得(-2b)^2-4*8a=0解得b^2=8a
有上两式解a=2,b=4
带入ax^2+(b+k-1)x+(k+1)=0有2x^2+(k+3)x+(k+1)=0
det=b^2-4ac=(k+3)^2-8(k+1)=k^2-2k+1=(k-1)^2>=0恒成立所以该方程必有实根，
望采纳！！