Question

解下面两个常微分方程：（要有详细过程） 1.dy/dx=(y/x)[1+ln(y/x)] 2.xy′-y=(x+y)ln[(x+y)/y]

Answer 1

(1)令y/x=t，则y=tx,dy=xdt+tdx
原方程化为：xdt/dx+t=t+tlnt
xdt/dx=tlnt
dt/(tlnt)=dx/x
两边积分：ln|lnt|=ln|x|+C
lnt=Cx (C≠0)
t=y/x=e^(Cx) (C≠0)
y=xe^(Cx) (C≠0)

(2)(xy'-y)/x^2=(x+y)/x^2*ln((x+y)/x)
(y/x)'=1/x*(1+y/x)ln(1+y/x)
令y/x=t，则y=tx,dy=xdt+tdx
所以dt/dx=1/x*(1+t)ln(1+t)
dt/[(1+t)ln(1+t)]=dx/x
两边积分：ln|ln(1+t)|=ln|x|+C
ln(1+t)=Cx (C≠0)
t=y/x=e^(Cx)-1 (C≠0)
y=x(e^(Cx)-1) (C≠0)

Answer 2