Question

已知a、b是整数,且满足a-b是质数,ab是完全平方数,若a≥2011,求a的最小值

如题，我在网上找到了答案，不过看不懂，我把答案发上来：
答案1

a-b=p(质数)，由辗转相除法的原理可得出结论：要么p是a，b的公约数，要么a，b互质。
如果p是a，b的公约数：令b=np,则a=b+p=(n+1)p,ab=n(n+1)p^2，n(n+1)不可能是完全平方数
如果a，b互质:由ab是完全平方数，可知，a和b都是完全平方数，令a是m的平方，b是n的平方，则a-b=m^2-n^2=(m+n)(m-n),a-b是质数，所以m-n=1，m+n=p，sqrt(2011)>44,而45+44=89是一个素数，所以，a最小是45^2=2025，b只能是44^2=1936

答案2
假设A = (M+1)P、B = MP，A-B = P是素数的情况时，因M+1、M互质。
A*B = PM(M+1) 不可能为完全平方数。
因此由题意，A、B应分别是完全平方数、A-B为一素数。
A = M²
B = N²
M、N互质
A - B = (M+N)(M-N)=质数=M+N
则M-N = 1

这两个答案最终求出结果是正确的，但是我对其中2个有疑问，答案1中，为什么辗转相除法能得到A,B各是完全平方数呢 ，答案2的第一条，A-B = P是素数的情况时，因M+1、M互质是为何成立 还有一点，a-b=m^2-n^2=(m+n)(m-n),a-b是质数，所以m-n=1 这个我也不懂，a-b是质数，为什么m=n就是1呢，求解释，感激不尽

Answer 1

楼主提出的问题都是对质数理解的不足引起的。
关于答案1，本身说的很清楚。楼主提出的疑问完全由于对定义的不理解。要解释必须从头来说~~~还是楼主明确概念后自己看吧。
答案2.
解释1~~~~相邻两整数互质（若不是这样的，则他们的差应该能被他们的最大公约数整除，而他们的差为1，所以他们的最大公约数为1，即互质）
解释2~~~~~~~a-b已经是质数了。质数写成两个整数的乘积，只可能是1和他本身~~~~m+n不可能是1，只能是m-n是1了。

Answer 2

你需要好好理解一下定义

追问

辗转相除法不是用来弄余数的吗