Question

（2008年天津）设f(x)=x4+ax3+2x2+b(x属于R),其中a、b属于R.若函数f(x)仅在x=0处有极值，求a的取值范围？

官方给出的答案，4x2+3ax+4≤0，⊿≤0，-8/3=<a<=8/3。
但是：
函数f(x)仅在x=0处有极值！如果-8/3=<a<=8/3可以取等号，那么a=8/3时，就会使4x^2+3ax+4可以为零，即当x=-1时，4x^2+3ax+4=0.那么函数的导数f'(x)=4x^3+3ax^2+4x的值就可以在x=0，x=1，x=-1时都为零，此时并不是仅在x=0处有极值。而应该有三个极值点。我很疑惑，因为标准答案上取的是等号？

Answer 1

你说的那种情况虽然x=-1,x=1时f'(x)=0,但那个点并不是极值点，就像函数y=x^3它的导函数为y‘=3x^2，在x=0时导数为零，但画图可知，它在R上单增，无极值点，事实上，f'(x)=0与函数取极值是互为既不必要也不充分条件。

Answer 2

解:(1)f′(x)=4x3+3ax2+4x=x(4x2+3ax+4).
当a=时,
f′(x)=x(4x2-10x+4)=2x(2x-1)(x-2).
令f′(x)=0,解得x1=0,x2=,x3=2.
当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:
x (-∞,0) 0 (0,) (,2) 2 (2,+∞)
f′(x) - 0 + 0 - 0 +
f(x) ↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
所以f(x)在(0,),(2,+∞)内是增函数,在(-∞,0),(,2)内是减函数.
(2)f′(x)=x(4x2+3ax+4),显然x=0不是方程4x2+3ax+4=0的根.
为使f(x)仅在x=0处有极值,必须4x2+3ax+4≥0恒成立,即有Δ=9a2-64≤0.
解此不等式,得≤a≤.
这时,f(0)=b是唯一极值.
因此满足条件的a的取值范围是［,］.
(3)由条件a∈［-2,2］可知Δ=9a2-64＜0,
从而4x2+3ax+4＞0恒成立.
当x＜0时,f′(x)＜0;当x＞0时,f′(x)＞0.
因此函数f(x)在［-1,1］上的最大值是f(1)与f(-1)两者中的较大者.
为使对任意的a∈［-2,2］,不等式f(x)≤1在［-1,1］上http://gzsx.cooco.net.cn/testdetail/239825/恒成立,当且仅当即在a∈［-2,2］上恒成立.
所以b≤-4,因此满足条件的b的取值范围是(-∞,-4］.