Question

大于一的正整数M的三次幂可“分裂”成若干个连续奇数的和

大于一的正整数M的三次幂可“分裂”成若干个连续奇数的和，如：2的立方等于3+5三的立方等于3+9+11，四的立方等于13+15+17+19，……若M的立方“分裂”后，其中有一个奇数是2013，则M的值是43,44,45,46中的哪一个？

Answer 1

这个问题不能单看数字，要换一种思考方式。数n的三次方可以写成(n*n)*n
当n是奇数时，n的三次方看成是n个n*n的和，所以n的三次方= （n*n-（n-1）+0） +（n*n-（n-1）+2） +...+n*n(这个是中位数)+...+（n*n+（n-1）-2） +（n*n+（n-1）-0） (中位数的对称性质)
当n是偶数时，公式和上面的很类似，中间的数变成（n*n-1）+（n*n+1）（还是中位数的对称性质）
因为44*44=1936，45*45=2025 所以你可以把45代入奇数的情况的最左边（n*n-（n-1）+0）=
2025-44=1981比2013大，所以2013必定在45立方分解的这组奇数和之内
看估计有点难懂，自己动笔就很快能找到规律了

Answer 2

设M^3=A+(A+2)+...+(A+2n-2)，其中A是奇数，共有n项，且n>1
整理得：M^3=nA+n(n-1)=n(A+n-1)
显然，如果M是质数（43），那么M必须等于n，或者说n必须等于43，此时A+43-1=43^2，A=1807，在这个奇数列中不可能存在2013，因此43被排除
从M^3的表达式得到另外一个推论是：因为n(n-1)恒为偶数，A为奇数，所以M与n的奇偶性必须相同
若M=44=4x11，则n必须为偶数，此外，假如数列包含2013，那么数列的项数应该在44^3/2013=42附近，而在该数附近，只有44能够整除M^3，验算当n=44时，A=1893，不满足要求
同理，若M=46=2x23，n=46，A=2071，不符合要求
当M=45=3x3x5，n=45，A=1981，符合要求，所以答案是45