Question

求椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1所围成的图形面积<大学作业>

利用微分方法表示

Answer 1

只要求第一象限内的面积，然后乘以4即可
第一象限，x>0,y>0
y=b√(1-x^2/a^2)
S/4=∫(0到a)b√(1-x^2/a^2)dx
令x=acosθ,0<θ<π/2,dx=-asinθdθ
x=0,θ=π/2
x=a,θ=0
b√(1-x^2/a^2)=b√[1-(cosθ)^2]=bsinθ
所以S/4=∫(π/2到0)bsinθ*(-asinθ)dθ
=-ab∫(π/2到0)(sinθ)^2dθ
=-ab∫(π/2到0)(1-cos2θ)/2dθ
=-ab/4∫(π/2到0)1-cos2θd2θ
=-ab/4*[2θ-sin2θ](π/2到0)
θ=π/2,2θ-sin2θ=π
θ=0,2θ-sin2θ=0
所以S/4=-ab/4*(0-π)
=πab/4
所以S=πab

Answer 2

大学毕业快3年了，微积分,导数都忘了

Answer 3

x=acos(t)
y=bsin(t)
0<=t<=2*pi
代进去
S=∫ydx=∫bsin(t)dacos(t)=ab*pi