Question

在平面直角坐标系xoy中，已知二次函数y=ax2-2ax+c(a不等于0）的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边

在平面直角坐标系xoy中，已知二次函数y=ax2-2ax+c(a不等于0）的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），AB=4,与y轴交于点C，且过点(2,3)．
（3）点K在抛物线上与点C是关于对称轴的对称点，点G抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、K、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由（一二问不用了）

Answer 1

设两交点A,B横坐标为x1,x2，则有

AB^2=(x1-x2)^2=(x1+x2)^2-4x1x2=4^2

由韦达定理即有 2^2-4c/a=4^2

解得c/a=-3，即c=-3a

将点(2,3)代入y=a(x^2-2x-3)可得

3=a(2^2-2*2-3)，可解得a=-1

∴抛物线方程为y=-x^2+2x+3

易求得抛物线与y轴交点为C(0,3)，A点坐标为A(-1,0)

抛物线对称轴为x=1，则K点坐标为K(2,3)

设x轴上点F坐标为F(f,0)，抛物线上G点坐标为G(m,n)

则有n=-m^2+2m+3                       (1)

□AKFG为平行四边形，则有AK∥GF，且AK=GF

即有 k(AK)=3/3=1=k(GF)=n/(m-f)              (2)

3^2+3^2=(m-f)^2+n^2                 (3)

联立(1),(2),(3)，消去m,n，即可求得f

解得m=0,2; n=3; f=-3,-1

或m=1±√7; n=-3; f=4±√7

但m=2时，G点与K点重合，故此解舍弃

综上所述，在x轴上共有三点F1(-3,0),F2(4+√7,0),F3(4-√7,0)

满足条件，使A, K, F, G四点构成的四边形为平行四边形

Answer 2

将(2,3)代人，得，

4a-4a+c=3，

解得c=3

所以y=ax²-2ax+3

由AB=4，得，

√(4a²-12a)/|a|=4

解得a=-1

所以y=-x²+2x+3=-(x-1)²+4

对称轴为x=1,所以K(0,3)

第一种情况

过C作AK的平行线交x轴于点F

F(1，0)

第二情况

F(-3，0)