Question

已知四边形ABCD的两组对边AD,BC与AB,CD的延长线分别相交于E,F,而 ∠E、 ∠F的平分线相交于P,求证

∠EPF=1/2（ ∠A+ ∠BCD）

Answer 1

如图，∵∠ECF=180°-∠1-∠2，

             ∠A=180°-∠AEF-∠AFE

                   =180°-∠1-∠2-∠AEB-∠AFD

又∵∠AEB=2∠3，∠AFD=2∠4，

∴∠ECF+∠A=(180°-∠1-∠2)+(180°-∠1-∠2-2∠3-2∠4)

                     =360-2∠1-2∠2-2∠3-2∠4，

∴1/2(∠ECF+∠A)=180°-∠1-∠2-∠3-∠4，

又∵∠BCD=∠ECF，

∴1/2(∠BCD+∠A)=180°-∠1-∠2-∠3-∠4

又∵∠P=180°-∠PEF-∠PFE

            =180°-∠1-∠3-∠2-∠4，

∴∠P=1/2(∠BCD+∠A)

Answer 2

∵∠ECF=180°-∠1-∠2，
∠A=180°-∠AEF-∠AFE
=180°-∠1-∠2-∠AEB-∠AFD
又∵∠AEB=2∠3，∠AFD=2∠4，
∴∠ECF+∠A=(180°-∠1-∠2)+(180°-∠1-∠2-2∠3-2∠4)
=360-2∠1-2∠2-2∠3-2∠4，
∴1/2(∠ECF+∠A)=180°-∠1-∠2-∠3-∠4，
又∵∠BCD=∠ECF，
∴1/2(∠BCD+∠A)=180°-∠1-∠2-∠3-∠4
又∵∠P=180°-∠PEF-∠PFE
=180°-∠1-∠3-∠2-∠4，
∴∠P=1/2(∠BCD+∠A)