Question

不等式a³＋b³＋c³≥3abc怎么证明

Answer 1

a^3+b^3+c^3-3abc
=(a^3+3a^2*b+3ab^2+b^3)+c^3-3a^2*b-3ab^2-3abc
=(a+b)^3+c^3-3ab(a+b+c)
=(a+b+c)[(a+b)^2-(a+b)c+c^2]-3ab(a+b+c)
=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)
=(1/2)*(a+b+c)[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]
因为[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]≥0,当仅当a=b=c时等号成立
又因为：a+b+c>0.
所以(1/2)*(a+b+c)[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]≥0
于是对一切正实数a、b、c都有a^3+b^3+c^3≥3abc成立。
当仅当a=b=c时等号成立。

还可以这样证：
(a3+b3)-[(a^2)b-a(b^2)]
=[a^3-(a^2)b]-[(a^2)b-b^3]
=[(a^2)-(b^2)]*(a-b)
=(a+b)*(a-b)^2≥0
即　a3+b3≥(a^2)b＋a(b^2)（等号成立的条件是a＝b）
同理b3+c3≥(b^2)c＋b(c^2)（等号成立的条件是b＝c）
　　c3+a3≥(c^2)a＋c(a^2)（等号成立的条件是c＝a）
把以上三式相加可得：
2(a3+b3+c3)≥(a^2)b＋a(b^2)+(b^2)c＋b(c^2)+(c^2)a＋c(a^2)
　　　　　 ＝[(a^2)+(b^2)]c+[(b^2)+(c^2)]a+[(c^2)+(a^2)]b
　　　　　　≥2abc+2abc+2abc
　　　　　　＝6abc
所以　a3+b3+c3≥3abc，当仅当a=b=c时等号成立。