Question

已知函数f(x)=ax²-e∧x,f'(x)是f(x)的倒函数

①解关于x的不等式：f(x)＞f'(x)②若f(x)有两个极值点x1x2,求实数a的取值范围。

Answer 1

f(x)=ax^2-e^x ，f '(x)=2ax-e^x ，
（1）由 f(x)>f '(x) 得 ax^2-e^x>2ax-e^x ，
所以 ax^2-2ax>0 ，
即 ax(x-2)>0 ，
所以 a>0 时解集是｛x | x<0 或x>2｝；
a=0 时解集是 Φ（空集）；
a<0 时解集是｛x | 0<x<2｝。
（2）f(x) 有两个极值点，说明 f '(x)=2ax-e^x=0 有两个不同实根，
由 f ''(x)=2a-e^x ，得
（i）如果 a<=0 ，则 f ''(x)<0 ，那么 f '(x) 为单调减函数，不可能有两个不同零点；
（ii）如果 a>0 ，则由 f ''(x)=0 得 x=ln(2a) ，因此可得 f '(x) 在（-∞，ln(2a)）上单调增，在（ln(2a)，+∞）上单调减， f '(x) 在 x=ln(2a) 处取极大值。
要使 f '(x)=0 有两个不同实根，只须 f '(ln(2a))>0 ，所以 2aln(2a)-2a>0 ，
解得 a>e/2 。
综上可得，若 f(x) 有两个极值点，a 的取值范围是（e/2，+∞）。

Answer 2

是导函数吧？
1:　　解：f'(x)=2ax-e^x
f(x)-f'(x)=ax²-2ax.>0

若 a>0 且 4a^2-4a<0, 得： 0<a<1 则 X为非0实数。若a<0,则0<x<2 若a=0, 无实数解。若 a=1 或 a>1 则：X<0或X>2
2:当X>0 a>o 令： f(x)>0 ax²-e^x>0 即 ax²>e^x 只需考虑第一象限。
两边 取对数有：lna+2lnx>x
即 lna>x-2lnx 令：F(X)=x-2lnx F'(x)=1-2/x
1-2/x=0 x=2 （拐点）此时lna取得最小值
lna=2-ln2
a>e^(2-2ln2) （ a<0 无需考虑，因为二次图像.开口向下）