高一数学 急急急!!!
对数列{an},规定{△an}为数列{an}的一阶差分数列,其中△an=a(n+1)-an,(n属于N*),对正整数k,规定{△^kan}为{an}的k阶差分数列,其中△...
对数列{an},规定{△an}为数列{an}的一阶差分数列,其中△an=a(n+1)-an,(n属于N*),对正整数k,规定{△^k an}为{an}的k阶差分数列,其中△^k an=△^(k-1)a(n+1)-△^(k-1)an=△(△^(k-1)an),①试写出数列1,2,4,8,15,26的一阶差分数列;②已知数列{an}的通项公式an=n^2+n,试判断{△an},{△^2an}是否为等差数列,为什么?
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先根据定义可得△an=an+1-an,把an=n2+n代入整理,根据等差及等比数列的定义判断{△an}是否为等差数列或等比数列,同理可判断{△2an}是否为等差或等比数列.
解:(1)△an=an+1-an=(n+1)2+(n+1)-(n2+n)=2n+2,
∴{△an}是首项为4,公差为2的等差数列.△2an=2(n+1)+2-(2n+2)=2,
∴{△2an}是首项为2,公差为0的等差数列;
也是首项为2,公比为1的等比数列.
解:(1)△an=an+1-an=(n+1)2+(n+1)-(n2+n)=2n+2,
∴{△an}是首项为4,公差为2的等差数列.△2an=2(n+1)+2-(2n+2)=2,
∴{△2an}是首项为2,公差为0的等差数列;
也是首项为2,公比为1的等比数列.
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貌似不是回答的这一题
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依定义展开
△^2a(n)-△a(n+1)+a(n)=-2^n
△(△a(n))-[a(n+2)-a(n+1)]+a(n)=-2^n
△(a(n+1)-a(n))-(a(n+2)-a(n+1)]+a(n)=-2^n
[a(n+2)-a(n+1)-a(n+1)+a(n)]-(a(n+2)-a(n+1)]+a(n)=-2^n
-a(n+1)+2a(n)=-2^n
a(n+1)-2a(n)=2^n
a(n+1)/2^(n+1)-a(n)/2^n=1/2
a(n)/2^(n)-a(n-1)/2^(n-1)=1/2
...
a(2)/4-a(1)/2=1/2
各式相加得
a(n)/2^n-a(1)/2=(n-1)/2
a(n)=2^n*n/2
a(n)=n*2^(n-1)
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依定义展开
△^2a(n)-△a(n+1)+a(n)=-2^n
△(△a(n))-[a(n+2)-a(n+1)]+a(n)=-2^n
△(a(n+1)-a(n))-(a(n+2)-a(n+1)]+a(n)=-2^n
[a(n+2)-a(n+1)-a(n+1)+a(n)]-(a(n+2)-a(n+1)]+a(n)=-2^n
-a(n+1)+2a(n)=-2^n
a(n+1)-2a(n)=2^n
a(n+1)/2^(n+1)-a(n)/2^n=1/2
a(n)/2^(n)-a(n-1)/2^(n-1)=1/2
...
a(2)/4-a(1)/2=1/2
各式相加得
a(n)/2^n-a(1)/2=(n-1)/2
a(n)=2^n*n/2
a(n)=n*2^(n-1)
△^2a(n)-△a(n+1)+a(n)=-2^n
△(△a(n))-[a(n+2)-a(n+1)]+a(n)=-2^n
△(a(n+1)-a(n))-(a(n+2)-a(n+1)]+a(n)=-2^n
[a(n+2)-a(n+1)-a(n+1)+a(n)]-(a(n+2)-a(n+1)]+a(n)=-2^n
-a(n+1)+2a(n)=-2^n
a(n+1)-2a(n)=2^n
a(n+1)/2^(n+1)-a(n)/2^n=1/2
a(n)/2^(n)-a(n-1)/2^(n-1)=1/2
...
a(2)/4-a(1)/2=1/2
各式相加得
a(n)/2^n-a(1)/2=(n-1)/2
a(n)=2^n*n/2
a(n)=n*2^(n-1)
追问
别去复制别人的答案,这个我搜到了的,和我的问题不一样,谢谢。
追答
由△2an-△an+1+an=-2n及△2an=△an+1-△an,
得△an-an=2n,
∴an+1-2an=2n,
∴
an+1
2n+1
-
an
2n
=
1
2
∴数列{
an
2n
}是首项为
1
2
,公差为
1
2
的等差数列,
∴
an
2n
=
1
2
+(n-1)×
1
2
,
∴an=n•2n-1.
(Ⅱ)∵b1Cn1+b2Cn2+b3Cn3+…+bn-1Cnn-1+bnCnn=an,
∴b1Cn1+b2Cn2+b3Cn3+…+bn-1Cnn-1+bnCnn=n•2n-1.
∵kCnk=nCn-1k-1,
∴C1n+2C2n+3C3n+…+(n-1)Cn-1n+nCnn=nC0n-1+nC1n-1+nC2n-1+…+nCn-1n-1=n(C0n-1+C1n-1+C2n-1+…+Cn-1n-1)=n•2n-1.
∴bn=n.
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