Question

已知抛物线y=-x+bx+c与一直线相交于A(-1,0),C(2,3)两点,与y轴交于N。其顶点为D.

(1)求抛物线及直线AC的函数关系式。（2）设：点M：（3，m），求使MN＋MD的值最小时m的值。

Answer 1

（1）将A、C坐标带入抛物线方程得：-(-1)²-b+c=0，-2²+2b+c=3；联解此方程组得：b=2，c=3；

∴ 抛物线方程为：y=-x²+2x+3；

抛物线与 y 轴交点：N(0,3)，顶点D(1,4)；

由两点式可直接写出直线AC的方程：(y-3)/(x-2)=(3-0)/(2+1)=1，即 y=x+1；

（2）点N(0,3)关于直线 x=3（过M点与 x 轴垂直的直线——M点的轨迹线）的对称点是 N'(6,3)；

连结DN'，则NN'与 x=3 的交点纵坐标 m 可使MN+MD最小，见下图：

DN'的方程为：(y-3)/(x-6)=(4-3)/(1-6)=-1/5，整理得：x+5y-21=0；

令 x=3 得DN'与直线 x=3 的交点M：(3,18/5)，即 m=18/5；

Answer 2

(1)将两点代入，b=2，c=3，y=-x2+2x+3
AC：y=x+1
(2)D(1,4) N(0,3)
又MN+MD的值最小
则做点D关于直线x=3的对称点D2(5,4)
则直线ND2：y=1/5x+3
所以此时M在直线上，m=18/5
(3)可知B(1,2)则BD=2
设E(Xe,Xe+1),F(Xe,-Xe2+2Xe+3)
若为平行四边形则EF=BD=2
所以 Xe+1-(-Xe2+2Xe+3)=2
或者 Xe+1-(-Xe2+2Xe+3)=-2（注意这里点E可能在对称轴两侧）
解两个方程，得3个解 分别为 1加减根号17 除以2 和 0（1被舍去）
(4)和第三问设的一样 变成
设P（X,-X2+2X+3） Q(X,X+1)
S△APC=PQx3x1/2=PQx1.5
即求PQ最大值
,-X2+2X+3-(X+1)的最大值（因为P一定在Q上方）
配方得 -(X2-1/2)2+9/4
所以最大为 X=0.5
此时 PQ=2.25
S△APC=3.375

Answer 3

(1)求抛物线及直线AC的函数关系式y=-x²+2x+3=-(x-1)²+4 y=x+1
（2）设：点M：（3，m），求使MN＋MD的值最小时m的值。
N(0,3) D(1,4) D点关于直线x=3对称点E(5,4) 直线NE解析式y=1/5x+3与直线x=3交点M（3，18/5) 此时MN＋MD的值最小，m的值=18/5