Question

在数列{an}中，a1=2，a(n+1)=an+2n-1，求此数列的通项公式 an

Answer 1

解：由a(n+1)=an+2n-1得
a(n+1)-an=2n-1
于是：
a2-a1=2*1-1
a3-a2=2*2-1
a4-a3=2*3-1
..................
an-a(n-1)=2*(n-1)-1
把上式累加得：
an-a1=2(1+2+3+.......+(n-1))-(n-1)*1
an-2=2[1+(n-1)](n-1)/2-(n-1)
an=n(n-1)-n+1+2
an=n^2-2n+3

Answer 2

a2=a1+2*2-1
a3=a2+2*3-1
....
a(n+1) = an+2*(n+1)-1

左侧=a2+...a(n+1) = Sn+a(n+1)-a1
右侧=a1+a2+...+an + 2(2+3+...+(n+1)) - n = Sn + 2* [(n+1)(n+2)/2 - 1] - n = Sn + (n+1)(n+2)-2-n
∴
a(n+1)-2=(n+1)(n+2)-2-n
a(n+1) = (n+1)(n+2)-(n+1)+1
∴an = n*(n+1)-n+1 = n²+1

Answer 3

a(n+1)=a(n)+2n-1=a(n) + n(n+1)-(n-1)n - (n+1) + n,
a(n+1)-n(n+1)+(n+1) = a(n) - (n-1)n + n,
{a(n)-(n-1)n+n}是首项为a(1)-0+1=3的常数数列。
a(n)-(n-1)n+n = 3,
a(n) = (n-1)n - n + 3 = n^2 - 2n + 3

Answer 4

由于目测到有2n-1这项，因此左右两边同时减去n^2构造完全平方，有a(n+1)-n^2=an-（n-1）^2=a1-0=2，也就是说an-（n-1）^2=2，所以an=n^2-2n+3
一般来说a(n+1)-an=f(n)，除了直接的累加之外，配方构造的时候需要在f(n)处配出n的高一阶的形式,就是说如果f(n)中的n最高次方是k次方，那配方构造的时候需要两边配出n的k+1次方才能配出等差数列形式，f(n)是指数形式一样成立。
最简单的例子就是等差数列，也符合这种形式，a(n+1)-an=d，两边同时减去dn，有a(n+1)-d(n+1)=an-dn=a1-d，所以an=a1+dn-d，这就是等差数列的通项。
指数形式的话，简单的如a(n+1)-an=2^n，两边同时减去2^(n+1)，有a(n+1)-2^(n+1)=an+2^n-2^(n+1)=an-2^n=a1-2，所以an=2^n+a1-2，方法都是大同小异的。

Answer 5

等式化为a(n 1)-an=2n-1 所以
a2-a1=1
a3-a2=3
a4-a3=5
：
：
：
an-a(n-1)=2n-3
累加法，即
an一a1=1 3 5 7 …… (
2n-3)
an=n^2-2n 1

Answer 6

正确答案an=n^2-2n+3
SNOWHORSE70121方法好，但难掌握……