Question

如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点E，∠BAC＝90°，∠CED＝45°，

问题补充： 如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点E，∠BAC＝90°，∠CED＝45°，∠DCE＝30°，DE＝根2，BE＝2倍根2。求CD的长和四边形ABCD面积

Answer 1

如图，过点D作DF⊥AC，垂足F。

1、在Rt△DEF中，∠CED＝45°，DE＝√2，

所以EF=DF，且EF²+DF²=DE²＝(√2)²

∴EF=DF=1

在Rt△DCF中，∠DCE＝30°，

∴DF=1/2DC

∴DC=2DF=2×1=2

2、接上：

∴CF=√(DC²-DF²)=√(2²-1²)=√3

∴CE=CF+EF=1+√3

在在Rt△ABE中，∠AEB=∠CED=45°

∴AB=AE，且AB²+AE²=BE²=(2√2)²

∴AB=AE=2

∴AC=AE+EF+FC=2+1+√3=3+√3

∴S△ABC=AC×AB×1/2=(3+√3)×2×1/2=3+√3

   S△ACD=AC×DF×1/2=(3+√3)×1×1/2=1.5+0.5√3

∴四边形ABCD面积=S△ABC+ S△ACD

                              =3+√3+1.5+0.5√3

                              =4.5+1.5√3

Answer 2

在ΔCDE中应用正弦定理：
CD=sin45°*DE/sin30°=2。
∵∠AEB=∠CED=45°，∠BAC=90°，
∴AB=AE=BE÷√2=2，
过A作AM⊥BD于M，则AM=1/2BE=√2，
在RTΔCDN中，∠CDE=105°，CD=2，
过C作CN⊥BD交BD延长线于N，则∠CDN=75°，
∴CN=CD/sin75°=2÷(√6+√2)/4=2(√6-√2)
∴SΔABD=1/2BD*AM=1/2*3√2*√2=3，
SΔBCD=1/2BD*CN=1/2*3√2*2(√6-√2)=6√3-6，
∴S四边形=SΔABD+SΔBCD=6√3-3。

Answer 3

解：在三角形EDC中，由正弦定理可得DC=2，EC=2.732
(根2/sin30=DC/sin45，EC/sin105=根2/sin30)
过D点作AC的高DF,在三角形DCF中，有正弦定理，DF/sin30=2/sin90，DF=1
在△AEB中，∠AEB=45，∠BAC＝90°，BE＝2倍根2，的AB=2
四边形ABCD面积：1/2*2*（2+2.732）+1/2*4.732*1=7.098（△ADC+△ACB面积）。

Answer 4

在△CDE中，，∠CED＝45°，∠DCE＝30°，DE＝√2，
由正弦定理，CD=DEsinCED/sinDCE=（√2*1/√2）/（1/2）=2.
∠CDE=105°，
∴CE=DEsinCDE/sinDCE=√2*（√6+√2)/4*2=√3+1，
在△ABE中，∠AEB=∠CED=45°，∠BAC=90°，
∴AB=AE=BE/√2=2，
∴S△ABC=(1/2)AB*AC=(1/2)*2*(3+√3）=3+√3，
S△ACD=(1/2)AC*CD*sinDCE=(3+√3）/2，
∴四边形ABCD面积=S△ABC+S△ACD=(9+3√3）/2.