Question

f(x)=alnx+(2a^2)/x 已知曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线l斜率为2-3a，求实数a的值 讨论函数f(x)单调性

Answer 1

第一个问题：
∵f（x）＝alnx＋（2a^2）/x，∴f′（x）＝a/x－a^2/x^2，∴l的斜率＝f′（1）＝a－a^2＝2－3a，
∴a^2－4a＝－2，∴（a－2）^2＝2，∴a－2＝√2，或a－2＝－√2，
∴a＝2＋√2，或a＝2－√2。
∴满足条件的a的值是（2＋√2），或（2－√2）。

第二个问题：
一、当a＝2＋√2时，
f′（x）＝a/x－a^2/x^2＝（2＋√2）/x－（2＋√2）^2/x^2＝［（2＋√2）/x^2］［x－（2＋√2）］.
∴当x＞2＋√2时，f′（x）＞0，当x＜2＋√2时，f′（x）＜0。
∴此时函数的增区间是（2＋√2，＋∞），减区间是（－∞，2＋√2）。

二、当a＝2－√2时，
f′（x）＝a/x－a^2/x^2＝（2－√2）/x－（2－√2）^2/x^2＝［（2－√2）/x^2］［x－（2－√2）］.
∴当x＞2－√2时，f′（x）＞0，当x＜2－√2时，f′（x）＜0。
∴此时函数的增区间是（2－√2，＋∞），减区间是（－∞，2－√2）。

追问

求导以后，应该是a/x - (2a^2)/x^2 吧？

追答

抱歉！现更正如下：
第一个问题：
∵f（x）＝alnx＋（2a^2）/x，∴f′（x）＝a/x－2a^2/x^2，
∴l的斜率＝f′（1）＝a－2a^2＝2－3a，
∴2a^2－4a＋2＝0，∴（a－1）^2＝0，∴a＝1。
∴满足条件的a的值是1。

第二个问题：
f′（x）＝a/x－2a^2/x^2＝1/x－2/x^2＝（1/x^2）（x－2）。
∴当x＞2时，f′（x）＞0，当x＜2时，f′（x）＜0。
∴函数的增区间是（2，＋∞），减区间是（－∞，2）。