Question

高中数学竞赛数列10个题目紧急求解

Answer 1

1. 递推公式：a(n+1)=a(n)+3b(n)，b(n+1)=a(n)+b(n)。设a(n)/b(n)=k，则a(n+1)/b(n+1)=(k+3)/(k+1)，直接列式：k=(k+3)/(k+1)，得k=√3，计算机已经验证过，结果无误。证明设p(n)=a(n)/b(n)，则p(n+1)=(p(n)+3)/(p(n)+1)，用不动点法求出(p(n)+√3)/(p(n)-√3)为绝对值递增等比数列即可。

2. q=1/2，分子是14d²，设q=a/b，则说明14b²/(a²+ab+b²)为整数，因为b²和(a²+ab+b²)互质，所以(a²+ab+b²)是14的约数，凑一凑就可以了。

3. 把log2(n)提出来，原式=(n+2)log2(1+2/n)-2(n+1)log2(1+1/n)
=1/ln(2)*((n+2)*(2/n)-2(n+1)(1/n))=0，最后一步是泰勒展开，计算机已经验证过了，结果无误。

4. 归纳法证a(n)<=(n+1)/2，因为a(n)²/n²接近1/4，a(n)逐项增加其实远不到1/2。

5. (1)直接数学归纳法，利用f(x)=x+1/x的增减区间，证明很容易，√(2n+2)-√2n=2/(√(2n+2)+√2n)<2/(2√2n)=1/√2n。(2)反证法，假设存在C，把原式子平方，说明平方每次增加2+1/an^2，而且增加的部分其实>2+1/(2n+C)，级数1/(2n+C)的和是无穷，根本无上界C，直接矛盾。

6. (1)把原递推式展开成(2a(n+1)-7a(n))²=45a(n)²-36，可得a(n+1)²-7a(n+1)a(n)+a(n)²+9=0，可得a(n)=(7a(n+1)-√(45a(n+1)²-36))/2，因此a(n-1)=(7a(n)-√(45a(n)²-36))/2，因此a(n+1)+a(n-1)=7a(n)。(2) 直接配方，a(n+1)a(n)-1=(3a(n)+√(5a(n)²-4))²/4。

7. 直接求数列通项公式，可以证明an+a(n+1)+2为((3+√5)/2)^(n-1)+((3-√5)/2)^(n-1)的平方，平方根的数列通项公式为b(n+1)=3b(n)-b(n-1)。

8. (1)很容易。(2)归纳证明an>n/(n+1)即可，此证明很容易，因为甚至可以估计出1-1/(3n+1)>an>1-1/(3n)。

9. 1-2(x+y)/(1+x)(1+y)=(1-x)(1-y)/(1+x)(1+y)=(1-x)/(1+x)×(1-y)/(1+y)，所以可以看出(1-a(n))/(1+a(n))肯定是个等比数列，后面过程略。

10. 实际上1/a1+1/a2+...+1/an+1/a1a2..an=1，所以an=a1a2..a(n-1)+1，归纳法可证明。

码字辛苦，求加分。

Answer 2

1.由二项式定理：
（1+√3)^n=C（n,0)+C(n,1)√3+C(n,2)(√3)²+C(n,3)(√3)³+...+C(n,k)(√3)^k+...+C(n,n)(√3)^n;：
（1-√3)^n=C（n,0)+C(n,1)(-√3)+C(n,2)(-√3)²+C(n,3)(-√3)³+...+C(n,k)(-√3)^k+...+C(n,n)(-√3)^n
所以：an=[(1+√3)^n+(1-√3)^n]/2;bn=[(1+√3)^n-(1-√3)^n]/2√3;
an/bn=√3[(1+√3)^n+(1-√3)^n]/[(1+√3)^n-(1-√3)^n]
=√3[1+{(1-√3)/(1+√3)}^n]/[1-{(1-√3)/(1+√3)}^n]
=√3[1+(√3-2)^n]/[1-(√3-2)^n];
-1<√3-2<0, n趋近∞时，(√3-2)^n趋近于0；
所以an/bn的极限=√3（1+0）/(1-0)=√3
2.{an}中：a1=d;所以an=nd;a2=2d,a3=3d;
{bn}:b1=d²; b2=d²q, b3=d²q²;
所以：（a₁²+a₂²+a₃²)/(b1+b2+b3)=(d²+4d²+9d²)/(d²+d²q+d²q²)
=14/(1+q+q²)为整数；且0<q<1;所以：1<1+q+q²<3;
且1+q+q²=(q+½)²+¾；故1+q+q²=7/4;, q=½;

Answer 3

第一题的结果：应该是根号3。
第三题：等于0