∫1/x√（x^2-1）dx，求详细过程
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被积函数在x∈(- 1，1)之间不连续
分x < - 1和x > 1两种情况做
用第二换元：可令x = secθ，dx = secθtanθ dθ
当x < - 1时，|tanθ| = - tanθ
当x > 1时，|tanθ| = tanθ
所以答案会有两种结果。
用凑微分法：
∫ 1/[x√(x² - 1)] dx
= ∫ 1/[x * |x|√(1 - 1/x²)] dx
当x < - 1时，|x| = - x
当x > 1时，|x| = x
= ± ∫ 1/[x²√(1 - 1/x²)] dx
= ± ∫ 1/√[1 - (1/x)²] d(- 1/x)
= -+∫ 1/√[1 - (1/x)²] d(1/x)
= -+arcsin(1/x) + C
= arcsin(1/|x|) + C
分x < - 1和x > 1两种情况做
用第二换元：可令x = secθ，dx = secθtanθ dθ
当x < - 1时，|tanθ| = - tanθ
当x > 1时，|tanθ| = tanθ
所以答案会有两种结果。
用凑微分法：
∫ 1/[x√(x² - 1)] dx
= ∫ 1/[x * |x|√(1 - 1/x²)] dx
当x < - 1时，|x| = - x
当x > 1时，|x| = x
= ± ∫ 1/[x²√(1 - 1/x²)] dx
= ± ∫ 1/√[1 - (1/x)²] d(- 1/x)
= -+∫ 1/√[1 - (1/x)²] d(1/x)
= -+arcsin(1/x) + C
= arcsin(1/|x|) + C
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