Question

设△ABC的内角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,且acosB-bcosA=(3/5)c.（1）试求tanA/tanB

（2）求tan(A-B)的最大值，判断△ABC的形状

Answer 1

(1)
∵acosB-bcosA=(3/5)×c
且，a/sinA=b/sinB=c/sinC
∴sinAcosB-sinBcosA
=(3/5)×sinC
=(3/5)×sin(A+B)
=(3/5)×(sinAcosB+cosAsinB)
∴(2/5)×sinAcosB=(8/5)×cosAsinB
∴(sinAcosB)/(cosAsinB)
=(8/5)/(2/5)
=4
又，(sinAcosB)/(cosAsinB)
=(sinA/cosA)/(sinB/cosB)
=(tanA)/(tanB)
∴tanA/tanB=4
(2)
tan(A-B)
=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)
=(4tanB-tanB)/(1+4tan²B)
=3tanB/(1+4tan²B)
=3/[(1/tanB)+4tanB]
≤3/{2√[(1/tanB)×(4tanB)]}
=3/(2√4)
=3/4
当且仅当1/tanB=4tanB，即tanB=1/2时，等号成立，
所以，tan(A-B)的最大值为3/4

因为，tanB=1/2时，tanA＝2
所以，tanAtanB=1
即，sinAsinB＝cosAcosB
即，cosAcosB－sinAsinB＝0
即，cos(A+B)=0
即，cos(π-C)=0
所以，cosC＝0
解得，C＝π/2
所以，tan(A-B)取最大值时，△ABC为直角三角形

Answer 2

tanA/tanB=4

△ABC为直角三角形