Question

已知矩形纸片ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，A（0,4）、B（0,0）、C（8,0）。

已知矩形纸片ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中三个顶点的坐标分别是A（0,4）、B（0,0）、C（8,0）。点P是线段BC上的一个动点（不与线段端点重合），点Q是点C关于直线PD的对称点，记点P的横坐标为x ,△PDQ与梯形ABPD的重叠部分(图中的阴影部分的面积)为S。
（1）当点Q在矩形内部（包括边上）时，求S关于x的函数关系式（要求写出x的取值范围）；
（2）当点Q在矩形外部（不包括边上）时，设E是PQ与AD的交点，求ED的长关于x的函数关系式；
（3）如果二次函数y=（x-a）乘（x-8）的图象经过点P，且对称轴又恰好经过点Q，求a和S的值。

Answer 1

1)
作DE//QP交OC于E，再由FD//PE得到四边形DFPE是平行四边形。
由轴对称关系，可得角DPC=角DPQ；又AD//OC知角DPC=角PDA。所以角DPQ=角PDA，得PF=DP。
这样就得到了四边形DFPE是菱形。
设CE=QF=m，则菱形DFPE中PE=DF=8-x=m.
所以直角三角形QFD中 m^2+4^2==(8-x-m)^2,
得到 m = (-48 + 16 x - x^2)/(2 (-8 + x)).
因此S关于x的函数关系式为:
{
当0<x<=4时，有S=(1/2)*4*(8-x-m)=(80 - 16 x + x^2)/(8 - x);
当4<x<8时，有S=-2x+16.
}
所以x=2时，S=26/3.

(2)
当0<x<=4时，有(80 - 16 x + x^2)/(8 - x)=41/5,解得 x_1=3, x_2=24/5(不在范围内，舍去);
当4<x<8时，有-2x+16=41/5,解得x=39/10(不在范围内，舍去).
综上所述，x=3.
作PG垂直AD于G，过Q作y轴的垂线，交PG延长线于H。则由HQ//GF得三角形PGF相似于三角形PHQ。
于是 PG/PH = GF/HQ = PF/PQ, 即 4/PH = m/PQ = (5-m)/5.
解之得 PH = 200/41, HQ = 45/41.
故Q的坐标是(168/41,200/41),
因此 y_PQ=(40/9)x-(40/3).

(3)
由于变量OP=x和函数y的自变量混淆，因此从此处起只记OP为a；并停顿5秒用以再次鄙视出题者。
将第(2)题中 PG/PH = GF/HQ = PF/PQ 的结论一般化(即a不赋值为3)，
可以导出 HQ=(384 - 176 a + 24 a^2 - a^3)/(80 - 16 a + a^2).
所以Q的横坐标是 a+(384 - 176 a + 24 a^2 - a^3)/(80 - 16 a + a^2) = (8+a)/2,
因此 a_1=8(舍去), a_2=4(2-sqrt(3)), x_3=4(2+sqrt(3))(舍去)。
综上所述，a=8-4sqrt(3), 对应的S值是 16sqrt(3)/3.

Answer 2

人才啊 。。