Question

设数列Xn Yn满足lim(n→∞)XnYn=0 选项 C.若Xn有界，则Yn必为无穷小 D.若1/Xn为无穷小，则Yn必为无穷小

C为什么错？D为什么对？

Answer 1

选项C错
若Xn为无穷小，则Xn有界，则Yn不一定为无穷小
反例：Xn=1/n有界，Yn=1非无穷小，lim[n→∞] XnYn=0成立

选项D对

因为1/Xn为无穷小，且lim[n→∞] XnYn=lim[n→∞] Yn/(1/Xn)=0
所以Yn是1/Xn的高阶无穷小，即Yn必为无穷小

Answer 2

有界函数乘以无穷小的极限为零，但是并不代表极限为零的都是有界函数乘以无穷小，故C错。
D可以这样来看，lim(n→∞)XnYn=0看成Yn除以1/Xn的极限，这样若1/Xn为无穷小，则Yn必为无穷小

Answer 3

简单分析一下即可，答案如图所示