Question

已知三角形ABC的内角A,B,C的对边为a,b,c成等比数列,则sinB/sinA的取值范围为

请写出具体过程，谢谢！

Answer 1

郭敦顒回答：
设公比为r＞0且r≠1，则a= a，b= ar，c= ar²，r=b/a。
∵当r＞1时a+b＞c，∴a+ar ＞ar²， 1+r ＞r²，r²－r－1＜0，
解得r≤1.618；
当r＜1时，a＜b+c，1＜r+r²，解得r≥0619，
∴0.619≤r≤1.618。
按正弦定理，a/sinA=b/sinB，sinB/sinA=b/a=r，
∴sinB/sinA的取值范围为[0.619，1.618]

Answer 2

设a≤b≤c，则b=ax， c=ax²， x≥1， 则sina/sinb/sinc=a/b/c, 在不考虑abc大小时，则sinB/sinA的取值范围为（1/x²， x²）
a+b＞c（三角形）则 a+ax＞ax²， x²-x-1＜0， 得（1-√5）/2<x<(1+√5) ∵x≥1， 所以1≤x<(1+√5)
sinB/sinA的取值范围为（1/x²， x²），即（ （3-√5）/4， 3+√5 ）

Answer 3

由正玄定理得：sinB/sinA=b/a
设a,b,c等比数列的公比为q,q>0,得：b=aq，c=aq²
sinB/sinA=b/a=aq/a=q
当q>1时，则：a+b>c
a+aq>aq²
q²-q-1<0
得：1<q<（√5+1）/2
1<sinB/sinA<（√5+1）/2
当0<q≤1时，则：a<b+c

a<aq+aq²

得：（√5-1）/2<q≤1
所以（√5-1）/2<sinB/sinA<（√5+1）/2