Question

已知函数f（x）=－sin^2x＋2asinx＋5。 1.若x属于R，有1小于等于f（x）小于等于8，求a的取值范围。 ...

已知函数f（x）=－sin^2x＋2asinx＋5。 1.若x属于R，有1小于等于f（x）小于等于8，求a的取值范围。 2.当f（x）=0有实数解时，求a的取值范围。
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Answer 1

f(x)=-sin²x+2asinx+5
令t=sinx∈[-1,1]，则
f(x)=-t²+2at+5=-(t-a)²+5+a²=g(t)，
g(t)图像为一开口向下的抛物线，定义域为t∈[-1,1]
对称轴为t=a，最大值为5+a²
（1）在x∈R上，如有1≤f(x)≤8，即1≤g(t)≤8，则
若-1≤a≤1，则最大值为5+a²≤8，
解得-√3≤a≤√3，与假设取交集得 -1≤a≤1
若a≥1，则g(t)在[-1,1]上为单调递增函数
最小值为g(-1)=-1-2a+5≥1，最大值为g(1)=-1+2a+5≤8
解得 a≤3/2, 且a≤2，与假设取交集得 1≤a≤3/2
若a≤-1，则g(t)在[-1,1]上为单调递减函数
最小值为g(1)=-1+2a+5≥1，最大值为g(-1)=-1-2a+5≤8
解得 a≥-3/2，且a≥-2，与假设取交集得 -3/2≤a≤-1
综上所述，若值域为[1,8]，则a取值范围为 [-3/2,3/2]
（2）f(x)=0有实数解，即-(t-a)²+5+a²=0在[-1,1]上有解
解得 t1=a-√(5+a²)，t2=a+√(5+a²)
则有 -1≤a-√(5+a²)≤1，或 -1≤a+√(5+a²)≤1
解上述不等式可得 -2≤a≤2，或a≤-2
取交集即得a的取值范围为 a≤2