Question

已知涵数f(x)=ax^2-lnx,x属于(0,e]，其中e是自然对数的底数，a属于R.

已知涵数f(x)=ax^2-lnx,x属于(0,e]，其中e是自然对数的底数，a属于R.当a=1时，求f(x)的单调区间和极值?若f(x)>=3恒成立，求a的取值范围

Answer 1

a=1,f(x)=x^2-lnx,(x>0)

f'(x)=2x-1/x=(2x^2-1)/x
f'(x)>0时有2x^2-1>0,x^2>1/2,x>根号2/2。即单调增区间是（根号2/2，+无穷）
f'(x)<0时有2x^2-1<0,0<x<根号2/2，即单调减区间是（0，根号2/2）
在X=根号2/2处有极小值是f(根号2/2）=1/2-ln根号2/2
f(x)>=3恒成立，即有ax^2-lnx>=3
a>=3/x^2+lnx/x^2在x>0上恒成立。
设g(x)=3/x^2+lnx/x^2
g'(x)=-3*2/x^3+(1/x*x^2-lnx*2x)/x^4=(-6+1-2lnx)/x^3=-2(lnx+5/2)/x^3
当lnx>-5/2时，有g'(x)<0,lnx<-5/2 时有g'(x)>0.即有当lnx=-5/2时有g(x)有极大值。
即有x=e^(-5/2)时g(x)max=3/e^(-5)+(-5/2)/e^(-5)=3e^5-5/2e^5=e^5/2
即有范围是a>=e^5/2.