Question

由曲线y=x^3-2x^2-x+2与x轴所围成平面图形的面积为?

Answer 1

先求出曲线与 x 轴的交点；
y=x³-2x²-x+2=x²(x-2)-(x-2)=(x-2)(x-1)(x+1)，交点共有三个，x=-1、x=1、x=2；
曲线与 x 轴所围成的图形分为两部分：[-1,1]段位于 x 轴上方，[1,2]端位于 x 轴下方；
∴ 总面积=∫{x=-1→1} ydx-∫{x=1→2} ydx=∫{-1,1} (x³-2x²-x+2)dx - ∫{1,2} (x³-2x²-x+2)dx
=[(x²)²/4-(2x³/3)-(x²/2)+2x]|{-1,1} - [(x²)²/4-(2x³/3)-(x²/2)+2x]|{1,2}
=2*[-2*1²/3+2*1]-{[(2²)²/4-2*2³/3-2²/2+2*2]+[(1/4)-(2*1^³/3)-1²/2+2*1]}
=11/3-19/12=25/12；

Answer 2

先求出曲线与 x 轴的交点；
y=x³-2x²-x+2=x²(x-2)-(x-2)=(x-2)(x-1)(x+1)，交点共有三个，x=-1、x=1、x=2；
曲线与 x 轴所围成的图形分为两部分：[-1,1]段位于 x 轴上方，[1,2]端位于 x 轴下方；
∴ 总面积=∫{x=-1→1} ydx-∫{x=1→2} ydx
=∫{-1,1} (x³-2x²-x+2)dx - ∫{1,2} (x³-2x²-x+2)dx
=[(x²)²/4-(2x³/3)-(x²/2)+2x]|{-1,1} - [(x²)²/4-(2x³/3)-(x²/2)+2x]|{1,2}
=2*[-2*1²/3+2*1]-{[(2²)²/4-2*2³/3-2²/2+2*2]+[(1/4)-(2*1^³/3)-1²/2+2*1]}
=8/3-(-5/12)
=37/12