已知a+b=1,a²+b²=2.求a³+b³,a的四次方+b的四次方,a的五次方+b的五次
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由a+b=1和a^2+b^2=2可得:(a+b)^2=a^2+2ab+b^2=2+2ab=1
所以:ab=-1/2
a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)=2+1/2=5/2 (注:这是一个常用的公式)
4=(a^2+b^2)^2=a^4+2(ab)^2+b^4=a^4+b^4+1/2
所以:a^4+b^4=7/2
5=(a^2+b^2)(a^3+b^3)=a^5+b^5+a^2b^3+a^3b^2=a^5+b^5+a^2b^2(a+b)=a^5+b^5+1/4
所以:a^5+b^5=19/4
所以:ab=-1/2
a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)=2+1/2=5/2 (注:这是一个常用的公式)
4=(a^2+b^2)^2=a^4+2(ab)^2+b^4=a^4+b^4+1/2
所以:a^4+b^4=7/2
5=(a^2+b^2)(a^3+b^3)=a^5+b^5+a^2b^3+a^3b^2=a^5+b^5+a^2b^2(a+b)=a^5+b^5+1/4
所以:a^5+b^5=19/4
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根据已知求得ab=-1/2
a³+b³=(a+b)³-3a²b-3ab²=(a+b)³-3ab(a+b)=1+3/2=5/2
a^4+b^4=(a+b)^4-6a²b²-4a³b-4ab³=1-6*(-1/2)²-4ab(a²+b²)=1-3/2-4*(-1/2)*2=1--3/2+4=7/2
a³+b³=(a+b)³-3a²b-3ab²=(a+b)³-3ab(a+b)=1+3/2=5/2
a^4+b^4=(a+b)^4-6a²b²-4a³b-4ab³=1-6*(-1/2)²-4ab(a²+b²)=1-3/2-4*(-1/2)*2=1--3/2+4=7/2
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(a+b)²=a²+b²+2ab=1∴ab=-1/2 a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)=5/2 a^4+b^4=(a²+b²)²-2(ab)²=7/2 a^5+b^5=(a+b)(a^4-a³b+a²b²-ab³+b^4)=7/2+1/4-ab(a²+b²)=7/2+1/4+1=19/4
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