Question

(2012·邢台)关于x的一元二次方程(a-b)x^2+(b-c)x+(c-a)=0的两根相等，则a,b,c的关系应为：

(2012·邢台)关于x的一元二次方程(a-b)x^2+(b-c)x+(c-a)=0的两根相等，则a,b,c的关系应为：
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Answer 1

同学你好：
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分析：由关于x的一元二次方程（a-b）x2+（b-c）x+（c-a）=0的两根相等，则a-b≠0，且△=0，即△=（b-c）2-4（a-b）（c-a）=（b+c）2-4a（b+c）+4a2=（b+c-2a）2=0，即可得到a，b，c的关系．

解：∵方程（a-b）x2+（b-c）x+（c-a）=0为一元二次方程且有两根相等，
∴a-b≠0，且△=0，
即△=（b-c）2-4（a-b）（c-a）=（b+c）2-4a（b+c）+4a2=（b+c-2a）2=0，
∴a≠b，且b+c-2a=0，即b+c=2a，
所以a，b，c的关系为b+c=2a且a≠b．
故答案为：b+c=2a且a≠b．

本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式△=b2-4ac．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．

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Answer 2

两个根相等
∴(b-c)²-4(a-b)(c-a)=0
即：b²-2bc+c²-4ac+4a²+4bc-4ab=0
∴b²+2bc+c²+4a²-4ab-4ac=0
即：(b+c)²-4a(b+c)+4a²=0
∴(b+c-2a)=0
∴b+c=2a