Question

设a,b∈R，且a≠2,定义在区间(-b,b)内的函数f(x)=lg(1+ax/1+2x)是奇函数

设a,b∈R，且a≠2,定义在区间(-b,b)内的函数f(x)=lg(1+ax/1+2x)是奇函数 (1)求b的取值范围 (2)讨论函数f(x)的单调性 。要过程哟！

Answer 1

首先求出a的值.
由f(x)是奇函数得f(-1)=-f(1)
解得a=-2
所以f(x)=lg(1-2x/1+2x)

(1)要使函数有意义,只需(1-2x)(1+2x)＞0
所以函数的定义域为(-1/2,1/2)
因此b的取值范围为(-1/2,1/2).

(2)猜测LZ应该是高一学生,所以就不用导数法了.
设x1.x2∈(-1/2,1/2),且x1＜x2
则f(x1)-f(x2)=lg(1-2x1/1+2x1)-lg(1-2x2/1+2x2)=lg[(1-2x1)(1+2x2)/(1-2x2)(1+2x1)].
下面比较(1-2x1)(1+2x2)与(1-2x2)(1+2x1)的大小.
作差得(1-2x1)(1+2x2)-(1-2x2)(1+2x1)=(1+2x2-2x1-4x1x2)-(1+2x1-2x2-4x1x2)
=4(x2-x1)＞0.
所以(1-2x1)(1+2x2)＞(1-2x2)(1+2x1)
因此(1-2x1)(1+2x2)/(1-2x2)(1+2x1)＞1
所以f(x1)-f(x2)＞0 即f(x1)＞f(x2).
所以函数为单调递减函数.

追问

因为我把答案忘了，本来是有疑惑要问你的，可全忘了。不过还是感谢你的真心回答。我看着都晕，更别说你打的了，感谢哟