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首先lim{n→∞} (2/3)^n = 0.
进而1 = lim{n→∞} 1-(2/3)^n ≤ lim{n→∞} (1+(-2/3)^n)^(1/n) ≤ lim{n→∞} 1+(2/3)^n = 1.
故lim{n→∞} (1+(-2/3)^n)^(1/n) = 1.
又lim{n→∞} n^(1/n) = 1.
可得lim{n→∞} ((3^n+(-2)^n)/n)^(1/n) = 3·lim{n→∞} ((1+(-2/3)^n)/n)^(1/n) = 3.
可知幂级数的收敛半径为1/3.
只需讨论端点处的敛散性.
对x = 1/3, 通项为(1+(-2/3)^n)/n, 是一个与1/n等价的正项级数, 由比较判别法知其发散.
对x = -1/3, 通项为((-1)^n+(2/3)^n)/n. ∑(2/3)^n/n与∑(-1)^n/n均收敛, 故x = -1/3时收敛.
综合得收敛域为[-1/3,1/3).
进而1 = lim{n→∞} 1-(2/3)^n ≤ lim{n→∞} (1+(-2/3)^n)^(1/n) ≤ lim{n→∞} 1+(2/3)^n = 1.
故lim{n→∞} (1+(-2/3)^n)^(1/n) = 1.
又lim{n→∞} n^(1/n) = 1.
可得lim{n→∞} ((3^n+(-2)^n)/n)^(1/n) = 3·lim{n→∞} ((1+(-2/3)^n)/n)^(1/n) = 3.
可知幂级数的收敛半径为1/3.
只需讨论端点处的敛散性.
对x = 1/3, 通项为(1+(-2/3)^n)/n, 是一个与1/n等价的正项级数, 由比较判别法知其发散.
对x = -1/3, 通项为((-1)^n+(2/3)^n)/n. ∑(2/3)^n/n与∑(-1)^n/n均收敛, 故x = -1/3时收敛.
综合得收敛域为[-1/3,1/3).
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追问
第一步没看懂啊
追答
求收敛半径用的是幂级数的Cauchy-Hadamard公式.
1/R = limsup{n→∞} |an|^(1/n).
上面其实证明了lim{n→∞} |an|^(1/n)是存在的, 并等于3.
因此收敛半径为1/3.
或者对|x| < 1/3, 用Cauchy根值判别法.
效果是一样的.
不知你是不是这一步没看懂?
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