Question

已知：如图，在正方形ABCD中，M，N分别是BC，CD上的点。

（1） 若∠MAN＝45°，求证：MB＋ND＝MN 。
（2） 若MB＋ND＝MN，求证：∠MAN＝45°。

Answer 1

答案示例：

证明：延长CB到E，使BE=ND，连接AE.

∵四边形ABCD是正方形

∴AB=AD，∠D=∠ABE=90°

∵ND=BE

∴△AEB≌△AND(SAS）

∴∠1=∠2，AE=AN

∴∠EAN=∠1+∠BAN=∠2+∠BAN=90°

∵∠MAN=45°

∴∠MAE=∠EAN-∠MAN=45°

又∵AM=AM

∴△AEM≌△ANM（SAS）

∴ME=MN

∵ME=BE+MB=MB+ND

∴MB+ND=MN

 

（2）证明：延长CB到E，使BE=DN，连接AE，

∵∠D=∠B=90°，AD=AB，DN=BE，

∴∠ABE=∠D=90°，

∴△ABE≌△ADN．

∴AE=AN，∠BAE=∠DAN，

∵MN=BM+ND=BM+BE=ME，AM=AM，

∴△AME≌△AMN，

∴∠EAM=∠NAM．

∴∠MAN=∠MAE=∠BAE+∠BAM=∠DAN+∠BAM，

∵∠EAN=90°，

∴∠MAN=45°．

 

 

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