Question

已知数列{an}中，a1=1，a2=2，an+1=2an+an-1（n∈N*），用数学归纳法证明a4n能被4整除。

Answer 1

证明：a3=2a2+a1=5，a4=2a3+a2=12
（1）当n=1时，a4n=a4=12能被4整除。
（2）假设n=k(k∈N*),a4k能被4整除。
那么当n=k+1时，a4（k+1）=a(4k+4)=a(4k+3+1)，又an+1=2an+an-1所以a4（k+1） =a(4k+4)=a(4k+3+1)=2a(4k+3)+a(4k+2)
因为a(4k+2)=a(4k+1+1)=2a(4k+1)+a4k
所以a4（k+1）=2a(4k+3)+2a(4k+1)+a4k =2[2a(4k+2)+a(4k+1)]+2a(4k+1)+a4k
=4a(4k+2)+2a(4k+1)+2a(4k+1)+a4k
=4a(4k+2)+4a(4k+1)+a4k
所以n=k+1时也能被4整除
若不明白可继续追问，有帮助请采纳！

Answer 2

(1)a1=1
a2=2
a3=2*a2+a1=5
a4=2*a3+a2=12, 能被4整除

(2)设a4n能被4整除
a4n+1=2a4n+a4n-1
a4n+2=2a4n+1+a4n=2(2a4n+a4n-1)+a4n=5a4n+2a4n-1
a4n+3=2a4n+2+a4n+1=2(5a4n+2a4n-1)+2a4n+a4n-1=12a4n+5a4n-1
a4n+4=2a4n+3+a4n+2=2(12a4n+5a4n-1)+5a4n+2a4n-1=29a4n+12a4n-1
则29a4n中a4n能被4整除,12a4n-1中12也能被4整除, 因此a4n+4能被4整除
证毕