Question

已知平行四边形ABCD,过A作AM⊥BC于M,交BD于E,过C作CN⊥AD于N,交BD于F连接AF、CE

（1）求证：四边形AECF为平行四边形 （2）当AECF为菱形，M点为BC的中点时，求AB、AE的值

Answer 1

（1）证明∵四边形ABCD是平行四边形（已知），
∴BC∥AD（平行四边形的对边相互平行）；
又∵AM丄BC（已知），
∴AM⊥AD；
∵CN丄AD（已知），
∴AM∥CN，
∴AE∥CF；
又由平行得∠ADE=∠CBD，又AD=BC（平行四边形的对边相等），
在△ADE和△CBF中，
∠DAE=∠BCF=90°AD=CB∠ADE=∠FBC
，
∴△ADE≌△CBF（ASA），
∴AE=CF（全等三角形的对应边相等），
∴四边形AECF为平行四边形（对边平行且相等的四边形是平行四边形）；
（2）如图，连接AC交BF于点0，当AECF为菱形时，
则AC与EF互相垂直平分，
∵BO=OD（平行四边形的对角线相互平分），
∴AC与BD互相垂直平分，
∴▱ABCD是菱形（对角线相互垂直平分的平行四边形是菱形），
∴AB=BC（菱形的邻边相等）；
∵M是BC的中点，AM丄BC（已知），
∴AB=AC（等腰三角形的性质），
∴△ABC为等边三角形，
∴∠ABC=60°，∠CBD=30°；
在Rt△BCF中，CF：BC=tan∠CBF=√3 /3
又∵AE=CF，AB=BC，
∴AB：AE=√3

Answer 2

在平行四边形中，由于它的中心对称性，一般用全等可以解决问题。
⑴∵ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，AD∥BC，∠BAD=∠BCD，
∴∠ABE=∠CDF，
∵AM⊥BC，CN⊥AD，
∴AM=CN(平行线间的距离处处相等)，∠DAM=∠BCN=90°，
∴四边形AMCN是矩形，∴AE∥CF，
∴∠BAM=∠DCN，
∴ΔABE≌ΔDCF，∴AE=CF，
∴四边形AECF是平行四边形(一组对边平行且相等)。
⑵∵AM⊥BC，M是BC的中点，∴AB=AC，
又四边形AECF是菱形，∴AB=BC，BD垂直平分AC，
∴ΔABC是等边三角形，E为等边三角形的中心，
∴AE/AM=2，又AM/AB=√3/2，
∴AB=2/√3*AM=2/√3*1/2AE=4/√3AE，
∴AB/AE=4√3/3。
(只能求比值，求值是不可能的)。

Answer 3