Question

如图,平行四边形ABCD,E、F分别在直线AD、CD上,连BE、BF交AC于M、N,EF‖AC

(1)若E、F分别为AD、CD的中点，求证：AM=MN=CN
(2)平行移动EF，交CD、AD的延长线于E、F，求证：AM=CM

Answer 1

证明：
1）∵ABCD是平行四边形
∴△AME∽△CMB，
∵E、F分别为AD、CD的中点
∴AE/BC=AM/MC=1/2
∴AE=1/3*AC
同理可证，CN=1/3*AC
∴AM=MN=CN
2）∵△ABM∽△CEM
∴AM/CM=BM/EM
∵△CBN∽△AFN
∴CN/AN=BN/FN
∵EF//AC
∴BM/EM=BN/FN
∴AM/CM=CN/AN
∴AM/（AM+CM）=CN/（CN+AN）
即AM/AC=CN/AC
∴AM=CN

Answer 2

证法1:AD平分∠BAC,DE垂直AB,DF垂直AC.则DE=DF.
又AD=AD,故Rt⊿AED≌Rt⊿AFD(HL),得AE=AF.
所以,AD垂直平分EF.(等腰三角形顶角的平分线也是底边的高和中线)

证法2:∠AED=∠AFD=90度;AD=AD;∠EAD=∠FAD.
则⊿EAD≌⊿FAD(AAS),得AE=AF.
故AD垂直平分EF.(等腰三角形顶角的平分线也是底边的高和中线)

证法3:DE垂直AB,DF垂直AC,∠EAD=∠FAD.
则DE=DF(角平分线的性质);且∠EDA=∠FDA(等角的余角相等).
所以,AD垂直平分EF.(等腰三角形顶角的平分线也是底边的高和中线)

Answer 3

不知道

追问

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