Question

已知圆C：x^2+(y-1)^2=5,直线L：mx-y+1-m=0，求弦AB的中点M的轨迹方程？

Answer 1

圆心C(0,1)到直线L的距离d=|-m|/√(m²+1)<r
即：|m|/√(m²+1)<√5
m²<5m²+5
m属于R
CM与直线L垂直
L的方程为：mx-y+1-m=0
所以，CM的方程可设为：x+my+c=0
把点C(0,1)代入得：m+c=0，所以：c=-m
所以，直线CM的方程为：x+my-m=0
mx-y+1-m=0
x+my-m=0
m²+1)y-m²-1+m=0
联列方程组解得：x=m²/(m²+1)，y=(m²-m+1)/(m²+1)
这就是点M的横纵坐标了
然后消去m，过程如下：
x=m²/(m²+1)，则：xm²+x=m²，得：m²=x/(1-x)
y=(m²-m+1)/(m²+1)=y=[(m²+1)-m]/(m²+1)=1-m/(m²+1)
即：y=1-m/(m²+1)，
ym²+y=m²+1-m
把m²=x/(1-x)代入，得：xy/(1-x)+y=x/(1-x)+1-m
y/(1-x)=1/(1-x)-m
m=(1-y)/(1-x)
代入：m²=x/(1-x)
得：(1-y)²/(1-x)²=x/(1-x)
(1-y)²=x(1-x)
即：x(x-1)+(y-1)²=0
这就是点M的轨迹方程了

祝你开心！希望能帮到你，如果不懂，请追问，祝学习进步！O(∩_∩)O

Answer 2

M（x,y)
X平方+（Y-1）平方=5
x^2+y^2-2y-4=0
mx-y+1-m=0带入圆：
(1+m^2)x^2-2m^2x+m^2-5=0
x=m^2/(1+m^2)
(1+m^2)y^2-2(m^2-m+1)y+m^2-2m-3=0
y=(m^2-m+1)/(1+m^2)
消掉中间变量m
AB中点M的轨迹方程
(x-1/2)^2+(y-1)^2=1/4