Question

已知圆O1与圆O2都过点A，AO1是圆O2的切线，圆O1交O1O2于点B，连结AB并延长交圆O2于点C，连结O2C

1、求证：O2C⊥O1O2；
2、证明：AB*BC=2O2B*BO1;
3、如果AB*BC=12,O2C=4，求AO1的长
注：O1、O2 中的“1”，“2”都在O的右下角，即O1、O2为一个整体字母

Answer 1

△∵∴⊥∥∠⊙≌∽°

辅助线：延长BO1交O1于点D；

（1）O2C⊥O1O2；

∵BD是直径

∴∠BAD=90°

∵AO1是圆O2的切线

∴O2A⊥O1A

∴∠O2AB=∠ADB（弦切角定理:弦切角等于它所夹的弧对的圆周角）

∵O2A=O2C=半径

∴∠O2AB=∠O2CB

∴∠O2CB=∠ADB

再加上一组对顶角相等；

∴△CBO2∽△DBA

∴CO2B=90，O2C⊥O1O2；

 

（2）AB*BC=O2B*BD

我们上面已经证明了△CBO2∽△DBA，根据对应边成比例则有：

BC/O2B=DB/AB

而DB=2BO1（直径与半径的关系）将其代入上式，并十字相乘变形，即可得出结论。

 

（3）如果AB*BC=12,O2C=4，求AO1的长

根据圆割线定理，在上图中有如下关系：

O2B*O2D=O2A*O2A

O2D=O2B+BD代入上式后：

O2B*（O2B+BD）=O2A*O2A，

变形打开括号后：O2B*O2B+O2B*BD=O2A*O2A，

上列式子中，已知O2A=O2C=4；O2B*BD=2O2B*BO1=AB*BC=12；仅有O2B是未知，代入即可求得O2B

O2B*O2B+12=16

解得O2B=2

将O2B=2再代入O2B*BD=2O2B*BO1=AB*BC=12中，得出BD=6，则O1A=3

Answer 2

证明：（1）∵AO1是⊙O2的切线，
∴O1A⊥AO2，
∴∠O2AB+∠BAO1=90°，
又O2A=O2C，O1A=O1B，
∴∠O2CB=∠O2AB，
∠O2BC=∠ABO1=∠BAO1，
又∠O2CB+∠O2BC=∠O2AB+∠BAO1=90°
∴O2C⊥O2B，即O2C⊥O1O2，
∴△O2CB是直角三角形；

（2）延长O2O1交⊙O1于点D，连接AD．
∵BD是⊙O1直径，
∴∠BAD=90°．
又由（1）可知∠BO2C=90°，
∴∠BAD=∠BO2C，又∠ABD=∠O2BC，
∴△O2BC∽△ABD，
O2BAB=BCBD，
∴AB�6�1BC=O2B�6�1BD又BD=2BO1，
∴AB�6�1BC=O2B�6�12BO1．
∴ABO2B=2BO1BC．

Answer 3

图图啊