Question

求证 函数f(x,y)=xy2/(x2+y4)当(x,y)→ (0,0)时极限不存在

Answer 1

二元函数的极限存在是指按x，y变化的任意路径都是趋于同一极限值。
所以为了说明极限不存在只要找两个路径，极限值不同即可。
正确的一个做法：当x=y^2时，通过计算f(x,y)=1/2，即此时(x,y)→ (0,0)，极限时1/2
当x=y时，通过计算f(x,y)=x/(1+x^2)，显然此时(x,y)→ (0,0)，即x→0，f(x,y)→0
于是证完。

追问

路径是要怎么找的啊？

Answer 2

证:当点(x,y）沿y轴f(x,y))→ (0,0)时，lim(x=0,y→0）[xy^2/(x^2+y^4)]=0
当点(x,y）沿y=x ,→ (0,0)时，
lim(y=x,y→0）[xy^2/(x^2+y^4)]
=lim(y=x,y→0）[y^3/(y^2+y^4)]
=lim(y=x,y→0）[y^(-1)/(y^(-2)+1)]不存在。
所以，函数f(x,y)=xy2/(x2+y4)当(x,y)→ (0,0)时极限不存在