Question

已知f（x）是二次函数，若f（0）=0，且f(x+1)=f(x)+x+1。 求f(x)的表达式；求y=f（x2-2）的值域

Answer 1

设f(x)=ax²+bx+c
已知f(0)=c=0
所以f(x)=ax²+bx
f(x+1)=a(x+1)²+b(x+1)
于是ax²+2ax+a+bx+b=ax²+bx+x+1
(2a-1)x+(a+b-1)=0恒成立
所以2a-1=0
a+b-1=0
解得a=1/2 b=1/2
所以f(x)=(1/2)x²+(1/2)x
y=f(x^2-2)=1/2(x^2-2)^2+1/2(x^2-2)
=1/2(x^4-4x^2+4)+1/2x^2-1
=1/2x^4-3/2x^2+1
=1/2(x^2-3/2)^2-1/8
故当x^2=3/2时,Y有最小值是-1/8,故值域是[-1/8,+无穷)

Answer 2

设f(x)=ax�0�5＋bx+c，则f(0)=c=0f(x+1)-f(x)=a(2x+1)+b=x+1∴2a=1,a+b=1∴a=b=1/2∴f(x)的表达式为f(x)=1/2x�0�5+1/2xy=f（x�0�5-2）=1/2(x�0�5-2)（x�0�5-1）=1/2﹙x�0�5-3/2﹚�0�5-1/8∴y≧-1/8