Question

如图抛物线y=ax2-5ax=4经过三角形ABC的三个顶点，已知BC平行于X轴，点A在x轴上，点C在y轴上，且AC=BC

(1)求抛物线的对称轴
(2)写出ABC三点的坐标并求出抛物线的关系式
(3)探究：若点P是抛物线对称轴上且在x轴下方的动点，是否存在三角形PAB是等腰三角形，若存在，求出所有符合条件的P点的坐标，不存在，请说明理由 </img>

Answer 1

：（1）y=ax2-5ax+4，
对称轴：x=-5a    2a    =5    2    ；

（2）经过△ABC的三个顶点，已知BC∥x轴，点A在x轴上，点C在y上，且AC=BC，
令x=0，y=4，可知C点坐标（0，4），
BC∥x轴，所以B点纵坐标也为4，
又∵BC两点关于对称轴x=5    2    
对称，
即：(xB+0)    2    =5    2    ，xB=5，
∴B点坐标（5，4）．
A点在x轴上，设A点坐标（m，0），
AC=BC，即AC2=BC2，
AC2=42+m2，
BC=5，
∴42+m2=52，
∴m=±3，
∴A点坐标（3，0），
将A点坐标（-3，0）代入y=ax2-5ax+4，
0=9a+15a+4，a=1    6    ，y=1    6    x2+5    6    x+4；
将A点坐标（3，0）代入y=ax2-5ax+4，
0=9a-15a+4，a=2    3    ，y=2    3    x2+2    3    x+4．故函数关系式为：y=1    6    x2+5    6   x+4，或者y=2    3    x2+2    3    

（3）存在符合条件的点P共有3个．如图所示：

Answer 2

解：（1）对称轴为x=--5a2a=2.5，
答：抛物线的对称轴是直线x=2.5；

（2）解：令x=0，则y=4，
∴点C的坐标为（0，4），
又BC∥x轴，点B，C关于对称轴对称，
∴点B的坐标为B（5，4）
由AC=BC=5，OA=3，点A在x轴上，
∴点A的坐标为A（-3，0），
∵抛物线过A，
∴9a+15a+4=0，
a=-16，
∴抛物线的解析式是y=-16x2+56x+4，
答：A，B，C三点的坐标分别是（-3，0），（5，4），（0，4），抛物线的解析式是y=-16x2+56x+4．

（3）解：设P点坐标为P（2.5，m），由PA=PB，
∴PA2=PB2，
∴5.52+m2=2.52+（4-m）2，
∴m=-1，
则P点坐标为（2.5，-1），
答：P点坐标为（2.5，-1）．

Answer 3

1.对称轴是直线x=-（-5a/2a)=5/2=2.5
2,在y=ax�0�5-5ax+4中，
令X=0得Y=4所以C（0，4）
又因为BC∥X轴，所以BC=5，
所以B(5,4)又因为AB=BC∴AB=5
由勾股定理得OA=3∴A（-3，0）
把A（-3，0）代入y=ax�0�5-5ax+4中得
a=-1/6
∴Y=-1/6X�0�5+5/6X+4.
3.令P(2/5,m),易知|AB|=√80 |AC|=√121/4+m�0�5 |BC|=√25/4+(m-4)�0�5
若|AB|= |AC|，m=-√199/2
若|AB|= |BC|，m=(8-√295)/2
若|AC|=|BC|,m=-1
所以满足条件的P点共有三个：
(5/2,-√199/2),(5/2,(8-√295)/2),(5/2,-1)