Question

如图，已知直线PA交圆O于A，B两点，AE是圆O的直径，点C为圆O上一点，且AC平分角PAE，

如图，已知直线PA交圆O于A，B两点，AE是圆O的直径，点C为圆O上一点，且AC平分角PAE，过C作CD⊥PA，垂足为D(1)求证：CD为圆O的切线；（2）若DC+DA=6，圆O的直径为10，求AB的长度。

Answer 1

证明：1）连接OC
因为AC平分角PAE
所以∠PAC=∠CAE
因为OA=OC
所以∠CAE=∠OCA
所以∠OCA==∠PAC
因为CD⊥PA
所以∠ACD+∠PAC=90°
所以∠ACD+∠OCA=90°
所以CD⊥OC
所以CD为圆O的切线
2）作OG⊥PA于点G
则四边形OCDG是矩形，AB=2AG
设CD=OG=x
因为DC+DA=6，圆O的直径为10
所以DA=6-x，AG=x-1，OA=5
在Rt△OAG中，根据勾股定理得
AG²+OG²=OA²
即(x-1)²+x²=5²
解得x=4，x=-3（舍去）
所以AB=2AG=2(4-1)=6
答：略

Answer 2

如图
（1）连接OC．
∵点C在⊙O上，OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC．
∵CD⊥PA，
∴∠CDA=90°，则∠CAD+∠DCA=90°．
∵AC平分∠PAE，
∴∠DAC=∠CAO．
∴∠DCO=∠DCA+∠ACO=∠DCA+∠CAO=∠DCA+∠DAC=90°．
又∵点C在⊙O上，OC为⊙O的半径，
∴CD为⊙O的切线．

（2）过O作OF⊥AB，垂足为F，
∴∠OCD=∠CDA=∠OFD=90°，
∴OC=FD，OF=CD．
∵DC+DA=6，
设AD=x，则OF=CD=6-x，
∵⊙O的直径为10，
∴DF=OC=5，
∴AF=5-x，
在Rt△AOF中，由勾股定理得AF^2+OF^2=OA^2．
即（5-x）^2+（6-x）^2=25，
化简得x^2-11x+18=0，
解得x=2或x=9．
∵CD=6-x＞0，故x=9舍去，
∴x=2，
∴AD=2，AF=5-2=3，
∵OF⊥AB，由垂径定理知，F为AB的中点，
∴AB=2AF=6．